4.2.2 最大值、最小值問(wèn)題（一）基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)f(x)x33x(|x|<1)()A有最大值，但無(wú)最小值B有最大值，也有最小值C無(wú)最大值，但有最小值D既無(wú)最大值，也無(wú)最小值解析：選D.1<x<1，f(x)3x233(x21)<0，f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減，故f(x)在(1，1)上無(wú)最值2.已知函數(shù)f(x)x22x3在a，2上的最大值為，則a等于()A B.C D.或解析：選C.f(x)2x2，令f(x)0得x1.當(dāng)a1時(shí)，最大值為f(1)4，不合題意當(dāng)1<a<2時(shí)，f(x)在a，2上單調(diào)遞減，最大值為f(a)a22a3，解得a或a(舍去)3.函數(shù)f(x)在x2，4上最小值為()A0 B.C. D.解析：選C.f(x)，當(dāng)x2，4時(shí)，f(x)<0，即函數(shù)f(x)在x2，4上是單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值.4.當(dāng)函數(shù)f(x)x2cos x在區(qū)間上取得最大值時(shí)，x()A0 B.C. D.解析：選B.f(x)12(sin x)，令f(x)0，解得sin x.0x，x.當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，函數(shù)是增加的；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，函數(shù)是減少的，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值5.已知函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0，5)，它的導(dǎo)數(shù)f(x)4x34x，則當(dāng)f(x)取得極大值5時(shí)，x的值應(yīng)為()A1 B0C1 D1解析：選B.f(x)4x34x，f(x)x42x2c.f(x)過(guò)點(diǎn)(0，5)，f(x)x42x25.又f(x)0得x0或x1，所以1x0或x1時(shí)，f(x)0；x<1或0x1時(shí)，f(x)0.x0時(shí)取得極大值5.6.函數(shù)y的最大值為_(kāi)解析：函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，y，令y0，得xe，當(dāng)xe時(shí)，y0；當(dāng)0xe時(shí)，y0，所以xe是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，故ymax.答案：7.函數(shù)f(x)2x36x2a(a為常數(shù))在2，2上的最大值為5，那么此函數(shù)在2，2上的最小值為_(kāi)解析：f(x)6x212x6x(x2)由f(x)0得x0或2.f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.a5.此函數(shù)在2，2上的最小值是54035.答案：35已知函數(shù)f(x)(x22x)ex，下列說(shuō)法中正確的有_f(x)在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)；f(x)在x處取得最大值；f(x)在x處取得最小值；f(x)在x處取得極小值；函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)不同的零點(diǎn)解析：f(x)ex(x22)，令f(x)0，得x.當(dāng)x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0.故函數(shù)在x處取得極小值，在x處取得極大值，又f()(22)e>0，f()(22)e<0，所以函數(shù)f(x)在R上有三個(gè)不同的零點(diǎn)答案：9.設(shè)定義在(0，)上的函數(shù)f(x)axb(a0)，求f(x)的最小值解：f(x)a，令f(x)0，得x(舍去)或x.當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值為2b.10.已知f(x)x2aln x，求f(x)在1，)上的最小值解：f(x)2x(x1，)當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，故f(x)minf(1)1；當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0得x1(舍去)，x2.若1即0<a2時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，故f(x)minf(1)1；若>1即a>2，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(1，)(，)f(x)0f(x)極小值故在x時(shí)，f(x)取極小值也是最小值，所以f(x)minfln .綜上所述：當(dāng)a2時(shí)，f(x)minf(1)1；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)minfln .能力提升1.設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖像分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為()A1 B.C. D.解析：選D.|MN|的最小值，即函數(shù)h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，顯然x是函數(shù)h(x)在其定義域內(nèi)唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故t.2.若函數(shù)f(x)(a>0)在1，)上的最大值為，則a的值為_(kāi)解析：f(x).令f(x)0，解得x或x(舍去)當(dāng)x>時(shí)，f(x)<0；當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)a1時(shí)，f(x)f()max，<1，不合題意當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)maxf(1)，解得a1.答案：1已知函數(shù)f(x)axsin x(aR)，且在0，上的最大值為，求函數(shù)f(x)的解析式解：由已知得f(x)a(sin xxcos x)，對(duì)任意x(0，)，有sin xxcos x>0，當(dāng)a0時(shí)，f(x)，不合題意當(dāng)a<0，x(0，)時(shí)，f(x)<0，從而f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減又f(x)在0，上的圖像是連續(xù)不斷的，故f(x)在0，上的最大值為f(0)，不合題意；當(dāng)a>0，x(0，)時(shí)，f(x)>0，從而f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在0，上的圖像是連續(xù)不斷的，故f(x)在0，上的最大值為f()，即a，解得a1.綜上所述，f(x)xsin x.4設(shè)a>0，函數(shù)f(x).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，2a上的最小值解：(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)a，由于a>0，令f(x)a>0，得0<x<e；令f(x)a<0，得x>e.故函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減(2)當(dāng)0<2ae，即0<a時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在a，2a上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(a)ln a；當(dāng)ae時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在a，2a上單調(diào)遞減，所以f(x)minf(2a)ln 2a；當(dāng)<a<e時(shí)，需比較f(a)與f(2a)的大小由于f(a)f(2a)ln aln 2a(ln aln 2)，所以若<a2，則f(a)f(2a)，此時(shí)f(x)minf(a)ln a；若2<a<e，則f(a)>f(2a)，此時(shí)f(x)minf(2a)ln 2a.綜上所述，當(dāng)0<a2時(shí)，f(x)minln a；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)minln 2a.