專題一 函數(shù)的圖象與性質(zhì) 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 ________ 函數(shù)圖象的辨識T3 函數(shù)圖象的辨識T7 抽象函數(shù)的奇偶性與周期性T11 2017 利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式T5 ________ 分段函數(shù)、解不等式T15 2016 函數(shù)圖象辨識T7 函數(shù)圖象的對稱性T12 __________ 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年2考，涉及函數(shù)圖象的識別以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與不等式的綜合問題，試題均出現(xiàn)在選擇題上，難度適中，預(yù)計2019年會重點(diǎn)考查分段函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用 卷Ⅱ3年3考，涉及函數(shù)圖象的辨識以及抽象函數(shù)的性質(zhì)，其中函數(shù)圖象的識別難度較小，而函數(shù)性質(zhì)難度偏大，均出現(xiàn)在選擇題中，預(yù)計2019年會以選擇題的形式考查分段函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)等 卷Ⅲ3年2考，涉及函數(shù)圖象的辨識、分段函數(shù)與不等式的綜合問題，既有選擇題，也有填空題，難度適中，預(yù)計2019年會以選擇題的形式考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì) 橫向把握重點(diǎn) 1.高考對此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)等方面，多以選擇題、填空題形式考查，一般出現(xiàn)在第5～10或第13～15題的位置上，難度一般．主要考查函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的判斷． 2.此部分內(nèi)容有時也出現(xiàn)在選擇、填空中的壓軸題的位置，多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結(jié)合命題，難度較大. 函數(shù)的概念及表示 [題組全練] 1．(2018長春質(zhì)檢)函數(shù)y＝＋的定義域是(　　) A．[－1,0)∪(0,1)　　　　 B．[－1,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1) 解析：選D　由題意得 解得－1<x<0或0<x<1. 所以原函數(shù)的定義域為(－1,0)∪(0,1)． 2．已知函數(shù)f (x)＝則f (－2 018)＝(　　) A．1 B．e C. D．e2 解析：選D　由已知可得，當(dāng)x>2時，f (x)＝f (x－4)，故f (x)在x>－2時的周期為4，則f (－2 018)＝f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝e2. 3．設(shè)f (x)＝若f (a)＝f (a＋1)，則f ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選C　當(dāng)0＜a＜1時，a＋1＞1，f (a)＝，f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f (a)＝f (a＋1)，∴＝2a， 解得a＝或a＝0(舍去)． ∴f ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 當(dāng)a≥1時，a＋1≥2，∴f (a)＝2(a－1)， f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，無解． 綜上，f ＝6. 4．已知函數(shù)f (x)＝則f (f (x))<2的解集為________． 解析：因為當(dāng)x≥1時，f (x)＝x3＋x≥2，當(dāng)x<1時，f (x)＝2ex－1<2，所以f (f (x))<2等價于f (x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f (f (x))<2的解集為(－∞，1－ln 2)． 答案：(－∞，1－ln 2) 5．(2018成都模擬)設(shè)函數(shù)f ：R→R滿足f (0)＝1，且對任意x，y∈R都有f (xy＋1)＝f (x)f (y)－f (y)－x＋2，則f (2 018)＝________. 解析：令x＝y(tǒng)＝0，則f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝11－1－0＋2＝2. 令y＝0，則f (1)＝f (x)f (0)－f (0)－x＋2. 將f (0)＝1，f (1)＝2代入，得f (x)＝1＋x， 所以f (2 018)＝2 019. 答案：2 019 [系統(tǒng)方法] 1．函數(shù)定義域的求法 求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出解集即可． 2．分段函數(shù)問題的4種常見類型及解題策略 常見類型 解題策略 求函數(shù)值 弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層往外計算 解不等式 根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提 求參數(shù) “分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程 利用函數(shù) 性質(zhì)求值 必須依據(jù)條件找到函數(shù)滿足的性質(zhì)，利用該性質(zhì)求解 函數(shù)的圖象及應(yīng)用 [由題知法] 　(1)(2018全國卷Ⅱ)函數(shù)f (x)＝的圖象大致為(　　) (2)如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1 m 的圓O在t＝0時與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動，圓被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y＝cos x，則y與時間t(0≤t≤1，單位：s)的函數(shù)y＝f (t)的圖象大致為(　　) (3)已知函數(shù)f (x)＝若存在x1，x2，當(dāng)0≤x1<x2<2時，f (x1)＝f (x2)，則x1f (x2)的取值范圍是________． [解析]　(1)∵y＝ex－e－x是奇函數(shù)，y＝x2是偶函數(shù)， ∴f (x)＝是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A選項． 當(dāng)x＝1時，f (1)＝e－>0，排除D選項． 又e>2，∴<， ∴e－>1，排除C選項．故選B. (2)如圖，設(shè)∠MON＝α，由弧長公式知x＝α. 在Rt△AOM中，|AO|＝1－t， cos＝＝1－t， ∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故選 B. (3)畫出函數(shù)大致圖象如圖所示． 由圖象知，－≤x1<，≤x2<1，x1＋＝2x2－1，于是x1f (x2)＝x12x2－1＝x1，－≤x1<，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1的二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題，易得x1f (x2)的取值范圍是. [答案]　(1)B　(2)B　(3) [類題通法] 1．由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象的策略 2．根據(jù)動點(diǎn)變化過程確定其函數(shù)圖象的策略 (1)先根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷其對應(yīng)的函數(shù)的圖象． (2)采用“以靜觀動”，即將動點(diǎn)處于某些特殊的位置處考查圖象的變化特征，從而作出選擇． (3)根據(jù)動點(diǎn)中變量變化時，對因變量變化的影響，結(jié)合選項中圖象的變化趨勢作出判斷． [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2018全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為(　　) 解析：選D　法一：令f (x)＝－x4＋x2＋2， 則f ′(x)＝－4x3＋2x， 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝， 則f ′(x)>0的解集為∪， f (x)單調(diào)遞增；f ′(x)<0的解集為∪，＋∞，f (x)單調(diào)遞減，結(jié)合圖象知選D. 法二：當(dāng)x＝1時，y＝2，所以排除A、B選項．當(dāng)x＝0時，y＝2，而當(dāng)x＝時，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C選項．故選D. 2.如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動，記∠BOP＝x.將動點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f (x)，則y＝f (x)的圖象大致為(　　) 解析：選B　當(dāng)x∈時，f (x)＝tan x＋，圖象不會是直線段，從而排除A、C.當(dāng)x∈時，f ＝f ＝1＋，f ＝2. ∵2<1＋，∴f <f ＝f ，從而排除D，故選 B. 3．已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2.規(guī)定：當(dāng)|f (x)|≥g(x)時，h(x)＝|f (x)|；當(dāng)|f (x)|<g(x)時，h(x)＝－g(x)．則h(x)(　　) A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，無最小值 C．有最小值－1，無最大值 D．有最大值－1，無最小值 解析：選C　作出函數(shù)g(x)＝1－x2和函數(shù)|f (x)|＝|2x－1|的圖象如圖①所示，得到函數(shù)h(x)的圖象如圖②所示，由圖象得函數(shù)h(x)有最小值－1，無最大值． 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 [由題知法] 　　　(1)(2018石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f (x)單調(diào)遞增，且f (1)＝0，若f (x－1)>0，則x的取值范圍為(　　) A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)(2018益陽、湘潭調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f (x)，滿足f (x＋5)＝f (x)，當(dāng)x∈(－3,0]時，f (x)＝－x－1，當(dāng)x∈(0,2]時，f (x)＝log2x，則f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于(　　) A．403 B．405 C．806 D．809 (3)已知定義在R上的奇函數(shù)f (x)滿足f (x＋3)＝f (x)，且當(dāng)x∈時，f (x)＝－x3，則f ＝________. [解析]　(1)由于函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時f (x)單調(diào)遞增，f (1)＝0，所以f (－1)＝0，故由f (x－1)>0，得－1<x－1<0或x－1>1，所以0<x<1或x>2，故選A. (2)定義在R上的函數(shù)f (x)，滿足f (x＋5)＝f (x)，即函數(shù)f (x)的周期為5. 又當(dāng)x∈(0,2]時，f (x)＝log2x，所以f (1)＝log21＝0，f (2)＝log22＝1. 當(dāng)x∈(－3,0]時，f (x)＝－x－1， 所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0， f (5)＝f (0)＝－1. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018) ＝403[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018) ＝4031＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405. (3)由f (x＋3)＝f (x)知函數(shù)f (x)的周期為3， 又函數(shù)f (x)為奇函數(shù)， 所以f ＝f ＝－f ＝3＝. [答案]　(1)A　(2)B　(3) [類題通法]　函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用技巧 奇偶性 具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f (x)的性質(zhì)：f (|x|)＝f (x) 單調(diào)性 可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解 對稱性 利用其軸對稱或中心對稱可將研究的問題，轉(zhuǎn)化到另一對稱區(qū)間上研究 [應(yīng)用通關(guān)] 1．(2018貴陽模擬)已知函數(shù)f (x)＝，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對稱 B．函數(shù)f (x)在(－∞，1)上是增函數(shù) C．函數(shù)f (x)的圖象上至少存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB∥x軸 D．函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 解析：選A　因為y＝＝＝＋2，所以該函數(shù)圖象可以由y＝的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，所以函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對稱，A正確，D錯誤．易知函數(shù)f (x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，故B錯誤．易知函數(shù)f (x)的圖象是由y＝的圖象平移得到的，所以不存在兩點(diǎn)A，B使得直線AB∥x軸，C錯誤．故選A. 2．(2019屆高三惠州調(diào)研)已知函數(shù)y＝f (x)的定義域為R，且滿足下列三個條件： ①對任意的x1，x2∈[4,8]，當(dāng)x1<x2時，都有>0恒成立；②f (x＋4)＝－f (x)；③y＝f (x＋4)是偶函數(shù)．若a＝f (6)，b＝f (11)，c＝f (2 017)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是(　　) A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<b<a 解析：選B　由①知函數(shù)f (x)在區(qū)間[4,8]上為單調(diào)遞增函數(shù)；由②知f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，即函數(shù)f (x)的周期為8，所以c＝f (2 017)＝f (2528＋1)＝f (1)，b＝f (11)＝f (3)；由③可知函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，所以b＝f (3)＝f (5)，c＝f (1)＝f (7)．因為函數(shù)f (x)在區(qū)間[4,8]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b<a<c. 3．(2018全國卷Ⅱ)已知f (x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，則f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 解析：選C　法一：∵f (x)是奇函數(shù)，∴f (－x)＝－f (x)， ∴f (1－x)＝－f (x－1)． 由f (1－x)＝f (1＋x)，得－f (x－1)＝f (x＋1)， ∴f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)， ∴函數(shù)f (x)是周期為4的周期函數(shù)． 由f (x)為奇函數(shù)得f (0)＝0. 又∵f (1－x)＝f (1＋x)， ∴f (x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝012＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：由題意可設(shè)f (x)＝2sin，作出f (x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f (x)的一個周期為4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝120＋f (1)＋f (2)＝2. 重難增分(一) 函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [典例細(xì)解] 　　　(2016全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f (x)(x∈R)滿足f (－x)＝2－f (x)，若函數(shù)y＝與y＝f (x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則(xi＋yi)＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．m C．2m D．4m [學(xué)解題] 法一：利用函數(shù)的對稱性(學(xué)生用書不提供解題過程) 因為f (－x)＝2－f (x)，所以f (－x)＋f (x)＝2.因為＝0，＝1，所以函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱．函數(shù)y＝＝1＋，故其圖象也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱．所以函數(shù)y＝與y＝f (x)圖象的交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成對出現(xiàn)，且每一對均關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，所以i＝0，i＝2＝m，所以(xi＋yi)＝m. 法二：構(gòu)造特殊函數(shù)(學(xué)生用書提供解題過程) 因為f (－x)＝2－f (x)， 所以f (－x)＋f (x)＝2. 因為＝0，＝1， 所以函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱． 可設(shè)y＝f (x)＝x＋1，由得交點(diǎn)(－1,0)，(1,2)，則x1＋y1＋x2＋y2＝2， 結(jié)合選項，應(yīng)選B. [答案]　B [啟思維]　本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)及圖象對稱性的應(yīng)用．由于題目條件中的f (x)沒有具體的解析式，僅給出了它滿足的性質(zhì)f (－x)＝2－f (x)，即f (x)(x∈R)為抽象函數(shù)，顯然我們不可能求出這些交點(diǎn)的坐標(biāo)，這說明這些交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足某種規(guī)律，而這種規(guī)律必然和這兩個函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)．易知函數(shù)y＝關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱，自然而然的讓我們有這樣的想法：函數(shù)f (x)(x∈R)的圖象是否也關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱？基于這個想法及選擇題的特點(diǎn)，那么解題方向不外乎兩個：一是判斷f (x)的對稱性，利用兩個函數(shù)的對稱性求解；二是構(gòu)造一個具體的函數(shù)f (x)來求解． 　已知直線l與曲線y＝x3－x2＋x＋1有三個不同的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且|AB|＝|AC|，則(xi＋yi)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [解析]　易知y′＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函數(shù)y＝x3－x2＋x＋1在R上單調(diào)遞增．函數(shù)y＝x3－x2＋x＋1的圖象如圖所示，y＝x3－x2＋x＋1＝(x－1)3＋，易知曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，因為直線l與y＝x3－x2＋x＋1的圖象交于不同的三個點(diǎn)，且滿足|AB|＝|AC|，故B，C兩點(diǎn)一定關(guān)于點(diǎn)A對稱，故A，則有得故(xi＋yi)＝x1＋y1＋x2＋y2＋x3＋y3＝1＋＋2＋＝＝7，選 D. [答案]　D [啟思維]　本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解此類問題常利用函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合法解題． [知能升級] 1．解決抽象函數(shù)問題的2個常用方法 性質(zhì)法 先研究清楚函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性等性質(zhì)，這樣函數(shù)就不再抽象了，而是變得相對具體，我們就可以畫出符合性質(zhì)的草圖來解題 特殊值法 根據(jù)對題目給出的抽象的函數(shù)性質(zhì)的理解，我們找到一個符合題意的具體函數(shù)或給變量賦值，把抽象函數(shù)問題化為具體的數(shù)學(xué)問題，從而問題得解 2.解決抽象函數(shù)問題常用的幾個結(jié)論 (1)函數(shù)y＝f (x)關(guān)于x＝a對稱?f (a＋x)＝f (a－x)?f (x)＝f (2a－x)； (2)函數(shù)y＝f (x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱?f (a＋x)＋f (a－x)＝0?f (2a＋x)＋f (－x)＝0； (3)y＝f (x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f (x)關(guān)于直線x＝a對稱；y＝f (x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f (x)關(guān)于(a,0)對稱． (4)對于函數(shù)f (x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： ①若f (x＋a)＝－f (x)，則T＝2a； ②若f (x＋a)＝，則T＝2a； ③若f (x＋a)＝－，則T＝2a；(a>0) ④若f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)，則T＝|a－b|； ⑤若f (2a－x)＝f (x)且f (2b－x)＝f (x)(a≠b)，則T＝2|b－a|. [增分集訓(xùn)] 1．定義在R上的函數(shù)y＝f (x)為減函數(shù)，且函數(shù)y＝f (x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱．若f (x2－2x)＋f (2b－b2)≤0，且0≤x≤2，則x－b的取值范圍是(　　) A．[－2,0] B．[－2,2] C．[0,2] D．[0,4] 解析：選B　設(shè)P(x，y)為函數(shù)y＝f (x－1)的圖象上的任意一點(diǎn)，P關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱的點(diǎn)為(2－x，－y)，∴f (2－x－1)＝－f (x－1)，即f (1－x)＝－f (x－1)．∴不等式f (x2－2x)＋f (2b－b2)≤0可化為f (x2－2x)≤－f (2b－b2)＝f (1－1－2b＋b2)＝f (b2－2b)．∵函數(shù)y＝f (x)為定義在R上的減函數(shù)，∴x2－2x≥b2－2b，即(x－1)2≥(b－1)2.∵0≤x≤2，∴或 畫出可行域如圖中陰影部分所示． 設(shè)x－b＝z，則b＝x－z，由圖可知，當(dāng)直線b＝x－z經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時，z取得最小值－2；當(dāng)直線b＝x－z經(jīng)過點(diǎn)(2,0)時，z取得最大值2.綜上可得，x－b的取值范圍是[－2,2]． 2．(2018沈陽模擬)設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，F(xiàn)(x)＝(x＋2)3f (x＋2)－17，G(x)＝－，若F(x)的圖象與G(x)的圖象的交點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則(xi＋yi)＝________. 解析：∵f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴g(x)＝x3f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，∴函數(shù)F(x)＝(x＋2)3f (x＋2)－17＝g(x＋2)－17的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，－17)中心對稱．又函數(shù)G(x)＝－＝－17的圖象也關(guān)于點(diǎn)(－2，－17)中心對稱，∴F(x)和G(x)的圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(－2，－17)中心對稱，∴x1＋x2＋…＋xm＝(－2)2＝－2m，y1＋y2＋…＋ym＝(－17)2＝－17m，∴(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝－19m. 答案：－19m 重難增分(二) 新定義下的函數(shù)問題 [典例細(xì)解] 　　　我們將具有性質(zhì)f ＝－f (x)的函數(shù)，稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f (x)＝ln；②f (x)＝；③f (x)＝ 其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ [解析]　對于①，因為f ＝ln＝ln≠－f (x)，所以不滿足“倒負(fù)”變換； 對于②，因為f ＝＝＝－f (x)，所以滿足“倒負(fù)”變換； 對于③，因為f ＝即f ＝所以f ＝－f (x)，故滿足“倒負(fù)”變換．綜上可知，選C. [答案]　C [啟思維]　本題是在現(xiàn)有函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上定義的一種新的函數(shù)性質(zhì)，考查在新情境下，靈活運(yùn)用有關(guān)函數(shù)知識求解“新定義”類數(shù)學(xué)問題的能力．求解本題的關(guān)鍵是先準(zhǔn)確寫出f 的表達(dá)式，并加以整理，再具體考慮f 與－f (x)是否相等． 　　　設(shè)函數(shù)f (x)的定義域為D，若f (x)滿足條件：存在[a，b]?D(a<b)，使f (x)在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f (x)為“優(yōu)美函數(shù)”．若函數(shù)f (x)＝log2(4x＋t)為“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　f (x)＝log2(4x＋t)為增函數(shù)，且存在[a，b]?D(a<b)，使f (x)在[a，b]上的值域也是[a，b]， 則即 所以a，b是方程4x－2x＋t＝0的兩個不等的實(shí)根． 設(shè)2x＝m(m>0)， 則方程m2－m＋t＝0有兩個不等的實(shí)根，且兩根都大于0，所以解得0<t<. [答案]　D [啟思維]　(1)本題是一個新定義問題，讀懂題意后，即可由函數(shù)f (x)＝log2(4x＋t)為“優(yōu)美函數(shù)”，得到關(guān)于a，b的方程組，并構(gòu)造出以a，b為實(shí)數(shù)根的方程． (2)在應(yīng)用換元法解題時，一定要注意挖掘隱含條件，確定新元的取值范圍，以防在解題過程中出現(xiàn)非等價轉(zhuǎn)化． [知能升級] 1．函數(shù)新定義問題的常見形式 (1)討論新函數(shù)的性質(zhì)； (2)利用新函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算； (3)判斷新函數(shù)的圖象； (4)利用新概念判斷命題真假等． 2．函數(shù)新定義問題的解題思路 理解定義 深刻理解題目中新函數(shù)的定義、新函數(shù)所具有的性質(zhì)或滿足的條件，將定義、性質(zhì)等與所求之間建立聯(lián)系 合理轉(zhuǎn)化 將題目中的新函數(shù)與已學(xué)函數(shù)聯(lián)系起來，仔細(xì)閱讀已知條件進(jìn)行分析，通過類比已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)、圖象解決問題，或?qū)⑿潞瘮?shù)轉(zhuǎn)化為已學(xué)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)等形式解決問題 特值思想 如果函數(shù)的某一性質(zhì)(一般是等式、不等式等)對某些數(shù)值恒成立，那么通過合理賦值可以得到特殊函數(shù)值甚至是函數(shù)解析式，進(jìn)而解決問題 [增分集訓(xùn)] 1．(2018武漢模擬)若存在正實(shí)數(shù)a，b，使得?x∈R有f (x＋a)≤f (x)＋b恒成立，則稱f (x)為“限增函數(shù)”．給出以下三個函數(shù)：①f (x)＝x2＋x＋1；②f (x)＝；③f (x)＝sin(x2)，其中是“限增函數(shù)”的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．③ 解析：選B　對于①，f (x＋a)≤f (x)＋b，即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤對一切x∈R恒成立，顯然不存在這樣的正實(shí)數(shù)a，b.對于②，f (x)＝，即≤＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，則≥，顯然，當(dāng)a≤b2時式子恒成立，∴f (x)＝是“限增函數(shù)”．對于③，f (x)＝sin(x2)，－1≤f (x)＝sin(x2)≤1，故f (x＋a)－f (x)≤2，當(dāng)b≥2時，對于任意的正實(shí)數(shù)a，b都成立．故選B. 2．對于函數(shù)f (x)和g(x)，設(shè)α∈{x|f (x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，則稱f (x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”．若函數(shù)f (x)＝ex－1＋x－2與g(x)＝x2－ax－a＋3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[2,4] B. C. D．[2,3] 解析：選D　∵f ′(x)＝ex－1＋1>0，∴f (x)＝ex－1＋x－2是增函數(shù)．又f (1)＝0，∴函數(shù)f (x)的零點(diǎn)為x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函數(shù)g(x)＝x2－ax－a＋3在區(qū)間[0,2]上有零點(diǎn)．由g(x)＝0，得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，設(shè)x＋1＝t(1≤t≤3)，則a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在區(qū)間[1,2)上是減函數(shù)，在區(qū)間(2,3]上是增函數(shù)，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤3，故選D. 3．對任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)f (x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函數(shù)y＝f (x)＋k的圖象與x軸恰有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－2,1) B．[0,1] C．[－2,0) D．[－2,1) 解析：選D　當(dāng)x2－1≥4＋x＋1，即x≤－2或x≥3時，f (x)＝4＋x；當(dāng)x2－1<4＋x＋1，即－2<x<3時，f (x)＝x2－1.作出f (x)的圖象如圖所示，由圖象可知，要使－k＝f (x)有三個根，需滿足－1<－k≤2，即－2≤k<1. [專題跟蹤檢測] 一、全練保分考法——保大分 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是(　　) A．y＝－x3　　 　　　　　　 B．y＝ln |x| C．y＝cos x D．y＝2－|x| 解析：選D　顯然函數(shù)y＝2－|x|是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，y＝2－|x|＝|x|＝x，函數(shù)y＝x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．故選D. 2．(2018貴陽模擬)若函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f (x)＝log2(x＋2)－1，則f (－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 解析：選C　根據(jù)題意得f (－6)＝－f (6)＝1－log2(6＋2)＝1－log28＝－2.故選C. 3．(2018長春質(zhì)檢)已知函數(shù)f (x)＝則函數(shù)f (x)的值域為(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C. D．R 解析：選B　法一：當(dāng)x<－1時，f (x)＝x2－2∈(－1，＋∞)；當(dāng)x≥－1時，f (x)＝2x－1∈，綜上可知，函數(shù)f (x)的值域為(－1，＋∞)．故選B. 法二：作出分段函數(shù)f (x)的圖象(圖略)可知，該函數(shù)的值域為(－1，＋∞)，故選B. 4．(2018陜西質(zhì)檢)設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)sgn x＝則函數(shù)f (x)＝|x|sgn x的圖象大致是(　　) 解析：選C　由符號函數(shù)解析式和絕對值運(yùn)算，可得f (x)＝x，選C. 5．(2018濮陽二模)若f (x)＝是奇函數(shù)，則f (g(－2))的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：選C　∵f (x)＝是奇函數(shù)， ∴x<0時，g(x)＝－＋3， ∴g(－2)＝－＋3＝－1， f (g(－2))＝f (－1)＝－f (1)＝1.故選C. 6．(2018葫蘆島一模)設(shè)偶函數(shù)f (x)對任意x∈R，都有f (x＋3)＝－，且當(dāng)x∈[－3，－2]時，f (x)＝4x，則f (107.5)＝(　　) A．10 B. C．－10 D．－ 解析：選B　因為f (x＋3)＝－，所以f (x＋6)＝－＝－＝f (x)，所以函數(shù)f (x)是以6為周期的函數(shù)，f (107.5)＝f (617＋5.5)＝f (5.5)＝－＝－＝－＝.故選B. 7．(2019屆高三合肥調(diào)研)函數(shù)f (x)＝(ex－e－x)的圖象大致是(　　) 解析：選D　因為f (x)＝(ex－e－x)(x≠0)，所以f (－x)＝(e－x－ex)＝(ex－e－x)＝f (x)，所以f (x)是偶函數(shù)，排除選項A、C；因為函數(shù)f (x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以排除選項B，故選D. 8.點(diǎn)P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運(yùn)動，M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P沿ABCM運(yùn)動時，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f (x)的圖象的形狀大致是圖中的(　　) 解析：選A　根據(jù)題意得 f (x)＝ 畫出分段函數(shù)圖象可知A正確． 9．(2018河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)已知奇函數(shù)f (x)滿足f (x＋1)＝f (1－x)，若當(dāng)x∈(－1,1)時，f (x)＝lg，且f (2 018－a)＝1，則實(shí)數(shù)a的值可以是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A　∵f (x＋1)＝f (1－x)，∴f (x)＝f (2－x)．又函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，∴f (－x)＝－f (x)，∴f (－x)＝－f (2－x)，∴f (2＋x)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函數(shù)f (x)為周期函數(shù)，且周期為4.當(dāng)x∈(－1,1)時，令f (x)＝lg＝1，得x＝，又f (2 018－a)＝f (2－a)＝f (a)，∴a可以是. 10．已知函數(shù)f (x)＝則f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝(　　) A．2 018 B．1 513 C．1 009 D. 解析：選D　∵函數(shù)f (x)＝ ∴f (1)＝f (－1)＝2－1，f (2)＝f (0)＝20，f (3)＝f (1)＝2－1，…， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝1 009f (－1)＋1 009f (0)＝1 0092－1＋1 00920＝.故選D. 11．(2018郴州二模)已知函數(shù)f (x)＝ex－，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．則關(guān)于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)>0的解集為(　　) A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D．(－∞，2) 解析：選B　∵函數(shù)f (x)＝ex－＝ex－e－x滿足f (－x)＝－f (x)， ∴f (x)為奇函數(shù)且是單調(diào)遞增函數(shù)， 關(guān)于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)>0， 即為f (2x－1)>f (x＋1)， ∴2x－1>x＋1， 解得x>2，故選B. 12．(2018陜西二模)已知函數(shù)f (x)＝ex＋2(x<0)與g(x)＝ln(x＋a)＋2的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A. B．(－∞，e) C. D. 解析：選B　由題意知，方程f (－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解， 即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函數(shù)y＝e－x的圖象與y＝ln(x＋a) 的圖象在(0，＋∞)上有交點(diǎn)， 函數(shù)y＝ln(x＋a)的圖象是由函數(shù)y＝ln x的圖象向左平移a個單位得到的，當(dāng)y＝ln x向左平移且平移到過點(diǎn)(0,1)后開始，兩函數(shù)的圖象有交點(diǎn)， 把點(diǎn)(0,1)代入y＝ln(x＋a)得，1＝ln a， ∴a＝e，∴a<e.故選B. 13．已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f (x＋4)＝f (x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時，f (x)＝6－x，則f (919)＝________. 解析：∵f (x＋4)＝f (x－2)，∴f (x＋6)＝f (x)， ∴f (x)的周期為6， ∵919＝1536＋1，∴f (919)＝f (1)． 又f (x)為偶函數(shù)， ∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6 14．(2018陜西質(zhì)檢)若函數(shù)f (x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域為________． 解析：由函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得a－4＋a＝0，即a＝2，則函數(shù)f (x)＝2x＋b，其定義域為[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，故值域為[g(－1)，g(－4)]，即. 答案： 15．(2018青島一模)定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f (x)＝ 則f (2 009)的值為______． 解析：∵f (2 009)＝f (2 008)－f (2 007)＝[f (2 007)－f (2 006)]－f (2 007)＝－f (2 006)， 即當(dāng)x>3時滿足f (x)＝－f (x－3)＝f (x－6)，函數(shù)f (x)的周期為6. ∴f (2 009)＝f (3346＋5)＝f (5)＝f (－1)． ∵當(dāng)x≤0時f (x)＝log2(1－x)，∴f (－1)＝1， ∴f (2 009)＝f (－1)＝1. 答案：1 16．已知函數(shù)f (x)＝e|x|，函數(shù)g(x)＝對任意的x∈[1，m](m>1)，都有f (x－2)≤g(x)，則m的取值范圍是__________． 解析：作出函數(shù)y＝h(x)＝e|x－2|和y＝g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知當(dāng)x＝1時，h(1)＝g(1)，又當(dāng)x＝4時，h(4)＝e2<g(4)＝4e，當(dāng)x>4時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，∴1<m≤＋ln 2. 答案： 17．設(shè)函數(shù)f (x)＝若函數(shù)f (x)在區(qū)間[m,4]上的值域為[－1,2]，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 解析：畫出函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象易得，當(dāng)m∈[－8，－1]時，f (x)∈[－1,2]，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－8，－1]． 答案：[－8，－1] 18．設(shè)函數(shù)f (x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－2x＋1)，若對任意的x1∈R，都存在實(shí)數(shù)x2，使得f (x1)＝g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：設(shè)g(x)＝ln(ax2－2x＋1)的值域為A， ∵f (x)＝1－在R上的值域為(－∞，0]， ∴(－∞，0]?A， ∴h(x)＝ax2－2x＋1至少要取遍(0,1]中的每一個數(shù)，又h(0)＝1， ∴實(shí)數(shù)a需要滿足a≤0或解得a≤1. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 19．已知函數(shù)f (x)＝(p>1)，若對于任意a，b，c∈R，都有f (a)＋f (b)>f (c)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因為f (x)＝＝1＋， 所以當(dāng)m>1時，函數(shù)f (x)在R上是減函數(shù)，函數(shù)f (x)的值域為(1，m)， 所以f (a)＋f (b)>2，f (c)<m. 因為f (a)＋f (b)>f (c)對任意的a，b，c∈R恒成立，所以m≤2，所以1<m≤2. 當(dāng)m＝1時，f (x)＝1，f (a)＋f (b)＝2>f (c)＝1，滿足題意． 當(dāng)m<1時，函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù)，函數(shù)f (x)的值域為(m,1)， 所以f (a)＋f (b)>2m，f (c)<1，所以2m≥1， 所以m≥，所以≤m<1. 綜上可知，≤m≤2，故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 答案： 20．已知函數(shù)f (x)＝若f (x)的值域為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：依題意，當(dāng)x≥1時，f (x)＝1＋log2x單調(diào)遞增，f (x)＝1＋log2x在區(qū)間[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函數(shù)f (x)的值域是R，則需函數(shù)f (x)在(－∞，1)上的值域M?(－∞，1)． ①當(dāng)a－1<0，即a<1時，函數(shù)f (x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f (x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，顯然此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a<1不滿足題意； ②當(dāng)a－1＝0，即a＝1時，函數(shù)f (x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a＝1不滿足題意； ③當(dāng)a－1>0，即a>1時，函數(shù)f (x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f (x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M?(－∞，1)得解得1<a≤2. 綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]． 答案：(1,2] 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分 1．(2018惠州第一次調(diào)研)已知定義域為R的偶函數(shù)f (x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f (1)＝2，則不等式f (log2x)>2的解集為(　　) A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞) C.∪(，＋∞) D．(，＋∞) 解析：選B　因為f (x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f (x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．因為f (1)＝2，所以f (－1)＝2，所以f (log2x)>2?f (|log2x|)>f (1)?|log2x|>1?log2x>1或log2x<－1?x>2或0<x<.故選B. 2．(2019屆高三太原模擬)已知函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，f (x＋1)是奇函數(shù)，且對于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0，設(shè)a＝f ，b＝－f ，c＝f ，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 解析：選B　法一：因為函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，f (x＋1)是奇函數(shù)，所以f (－x)＝f (x)，f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以f (x－1)＝－f (x＋1)，所以f (x)＝－f (x＋2)，所以f (x)＝f (x＋4)，所以a＝f ＝f ＝f ，b＝－f ＝f ，c＝f ＝f ，又對于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0，所以f (x)在[0,1]上是減函數(shù)，因為<<，所以b>a>c，故選B. 法二：因為函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，f (x＋1)是奇函數(shù)，且對于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0，即f (x)在[0,1]上是減函數(shù)，不妨取f (x)＝cosx，則a＝f ＝cos＝cos，b＝－f ＝－cos＝cos，c＝f ＝cos＝cos，因為函數(shù)y＝cos x在[0,1]上是減函數(shù)，且<<<1，所以b>a>c，故選B. 3．(2018全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f (x)＝則滿足f (x＋1)<f (2x)的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) 解析：選D　法一：①當(dāng)即x≤－1時， f (x＋1)<f (2x)，即為2－(x＋1)<2－2x， 即－(x＋1)<－2x，解得x<1. 因此不等式的解集為(－∞，－1]． ②當(dāng)時，不等式組無解． ③當(dāng)即－1<x≤0時， f (x＋1)<f (2x)，即為1<2－2x，解得x<0. 因此不等式的解集為(－1,0)． ④當(dāng)即x>0時，f (x＋1)＝1，f (2x)＝1，不合題意． 綜上，不等式f (x＋1)<f (2x)的解集為(－∞，0)． 法二：∵f (x)＝ ∴函數(shù)f (x)的圖象如圖所示． 結(jié)合圖象知，要使f (x＋1)<f (2x)， 則需或 ∴x<0，故選D. 4．已知函數(shù)y＝f (x)是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f (x＋4)＝f (x)＋f (2)成立，且f (3)＝－1，當(dāng)x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有>0.給出下列命題：①f (221)＝－1；②函數(shù)y＝f (x)圖象的一條對稱軸方程為x＝－4；③函數(shù)y＝f (x)在[－6，－4]上為減函數(shù)；④方程f (x)＝0在[－6,6]上有4個根． 其中正確的命題個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D　令x＝－2，由f (x＋4)＝f (x)＋f (2)得f (－2)＝0.因為函數(shù)y＝f (x)是R上的偶函數(shù)，所以f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x＋4)＝f (x)，即函數(shù)y＝f (x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f (221)＝f (554＋1)＝f (1)．因為f (3)＝－1，所以f (－3)＝f (1)＝－1，從而f (221)＝－1，①正確．因為函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)的周期為4，所以函數(shù)y＝f (x)圖象的一條對稱軸方程為x＝－4，②正確．因為當(dāng)x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有>0，設(shè)x1<x2，則f (x1)<f (x2)，易知函數(shù)y＝f (x)在[0,2]上是增函數(shù)．根據(jù)圖象的對稱性，易知函數(shù)y＝f (x)在[－2,0]上是減函數(shù)，又根據(jù)周期性，易知函數(shù)y＝f (x)在[－6，－4]上為減函數(shù)，③正確．因為f (2)＝f (－2)＝0，由函數(shù)f (x)的單調(diào)性及周期性，可知在[－6,6]上有且僅有f (2)＝f (－2)＝f (6)＝f (－6)＝0，即方程f (x)＝0在[－6,6]上有4個根． 綜上所述，四個命題都正確．故選D. 5．(2018長沙模擬)定義運(yùn)算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，則函數(shù)f (x)＝x2(2x－x2)的最大值為________． 解析：由已知得f (x)＝x2(2x－x2)＝ ＝ 畫出函數(shù)f (x)的大致圖象(圖略)可知，函數(shù)f (x)的最大值為4. 答案：4 6．(2019屆高三石家莊檢測)已知定義域為R的函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f (x)＝|x－a2|－a2，且對x∈R，恒有f (x＋1)≥f (x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：定義域為R的函數(shù)f (x)是奇函數(shù)， 當(dāng)x≥0時，f (x)＝|x－a2|－a2＝ 作出函數(shù)f (x)的圖象如圖所示． 當(dāng)x<0時，函數(shù)的最大值為a2， ∵對x∈R，恒有f (x＋1)≥f (x)， 要滿足f (x＋1)≥f (x)，1要大于等于[－a2,3a2]的區(qū)間長度3a2－(－a2)， ∴1≥3a2－(－a2)，解得－≤a≤. 答案： 7．已知函數(shù)y＝f (x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)函數(shù)y＝f (x)和y＝F(x)在區(qū)間[a，b]同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間[a，b]叫作函數(shù)y＝f (x)的“不動區(qū)間”．若區(qū)間[1,2]為函數(shù)f (x)＝|2x－t|的“不動區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________． 解析：∵函數(shù)y＝f (x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴F(x)＝f (－x)＝|2－x－t|. ∵區(qū)間[1,2]為函數(shù)f (x)＝|2x－t|的“不動區(qū)間”， ∴函數(shù)f (x)＝|2x－t|和函數(shù)F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上單調(diào)性相同． ∵y＝2x－t和函數(shù)y＝2－x－t的單調(diào)性相反． ∴(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立， 即2－x≤t≤2x在[1,2]上恒成立， 即≤t≤2. 答案： 8．定義在R上的函數(shù)f (x)在(－∞，－2)上是增函數(shù)，且f (x－2)是偶函數(shù)，若對一切實(shí)數(shù)x，不等式f (2sin x－2)>f (sin x－1－m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______________． 解析：因為f (x－2)是偶函數(shù)， 所以函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于x＝－2對稱． 又f (x)在(－∞，－2)上為增函數(shù)， 則f (x)在(－2，＋∞)上為減函數(shù)， 所以不等式f (2sin x－2)>f (sin x－1－m)恒成立等價于|2sin x－2＋2|<|sin x－1－m＋2|， 即|2sin x|<|sin x＋1－m|，兩邊同時平方， 得3sin2x－2(1－m)sin x－(1－m)2<0， 即(3sin x＋1－m)(sin x－1＋m)<0， 即或 即或 即或 即m<－2或m>4， 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－2)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)