2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 2.2.3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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2.2.3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.2.掌握二項(xiàng)分布公式.3.能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題． 知識(shí)點(diǎn)一 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 思考1 要研究拋擲硬幣的規(guī)律，需做大量的擲硬幣試驗(yàn)．其前提是什么？ 答案 條件相同． 思考2 試驗(yàn)結(jié)果有哪些？ 答案 正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生． 思考3 各次試驗(yàn)的結(jié)果有無影響？ 答案 無，即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立． 梳理 (1)定義：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． (2)基本特征： ①每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行． ②每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果：發(fā)生與不發(fā)生． ③各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立． ④每次試驗(yàn)，某事件發(fā)生的概率都是一樣的． 知識(shí)點(diǎn)二 二項(xiàng)分布 在體育課上，某同學(xué)做投籃訓(xùn)練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投籃命中這個(gè)事件，用Bk表示僅投中k次這個(gè)事件． 思考1 用Ai如何表示B1，并求P(B1)． 答案 B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)， 因?yàn)镻(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A12 3，1A23，1 2A3兩兩互斥， 故P(B1)＝0.80.22＋0.80.22＋0.80.22 ＝30.80.22＝0.096. 思考2 試求P(B2)和P(B3)． 答案 P(B2)＝30.20.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. 思考3 由以上問題的結(jié)果你能得出什么結(jié)論？ 答案 P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)． 梳理 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p， 則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 1．有放回地抽樣試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．( √ ) 2．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響．( √ ) 3．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同．( ) 4．如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.( √ ) 類型一 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 例1 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響．(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答) (1)求甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率； (2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率． 考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算 題點(diǎn) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 解 (1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，知射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. (2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2)＝C2＝，P(B2)＝C1＝，由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故P(A2B2)＝＝. 引申探究 1．在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率． 解 記“甲擊中目標(biāo)1次”為事件A3，“乙擊中目標(biāo)1次”為事件B3，則P(A3)＝C＝，P(B3)＝， 所以甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率為P(A3B3)＝＝. 2．在本例(2)的條件下，求甲未擊中，乙擊中2次的概率． 解 記“甲未擊中目標(biāo)”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)＝C2＝，P(B4)＝C2＝，所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為P(A4B4)＝＝. 反思與感悟 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟 (1)判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． (2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆． (3)計(jì)算：就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算． 跟蹤訓(xùn)練1 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)： (1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率； (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率． 考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算 題點(diǎn) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 解 (1)記“預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8， 5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． “恰有2次準(zhǔn)確”的概率為 P＝C0.820.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05. (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”． 其概率為P＝C(0.2)5＋C0.80.24＝0.006 72. 所以所求概率為1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99. 類型二 二項(xiàng)分布 例2 已知某種從太空飛船中帶回來的植被種子每粒成功發(fā)芽的概率都為，某植物研究所分兩個(gè)小組分別獨(dú)立開展該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的． (1)第一小組做了3次試驗(yàn)，記該小組試驗(yàn)成功的次數(shù)為X，求X的分布列； (2)第二小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率． 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 求二項(xiàng)分布的分布列 解 (1)由題意，得隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,3， 則X～B. 即P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)第二小組第7次試驗(yàn)成功，前面6次試驗(yàn)中有3次失敗，3次成功，每次試驗(yàn)又是相互獨(dú)立的， 因此所求概率為P＝C33＝. 反思與感悟 (1)當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p. (2)解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) ①對(duì)于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能應(yīng)用，否則不能應(yīng)用該公式． ②判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次． 跟蹤訓(xùn)練2 某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心．且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列． 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 求二項(xiàng)分布的分布列 解 由題意可知X～B， 所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3， 即P(X＝0)＝C03＝； P(X＝1)＝C2＝； P(X＝2)＝C2＝； P(X＝3)＝C3＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 類型三 二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用 例3 一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是. (1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列； (2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列； (3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用 解 (1)由ξ～B，則P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 即P(ξ＝0)＝C05＝； P(ξ＝1)＝C4＝； P(ξ＝2)＝C23＝； P(ξ＝3)＝C32＝； P(ξ＝4)＝C4＝； P(ξ＝5)＝C5＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個(gè)是綠燈，第k＋1個(gè)是紅燈)＝k，k＝0,1,2,3,4， 即P(η＝0)＝0＝； P(η＝1)＝＝； P(η＝2)＝2＝； P(η＝3)＝3＝； P(η＝4)＝4＝； P(η＝5)＝P(5個(gè)均為綠燈)＝5. 故η的分布列為 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率為P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0) ＝1－5＝. 反思與感悟 對(duì)于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別應(yīng)用相加或相乘事件公式；最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解． 跟蹤訓(xùn)練3 一個(gè)口袋內(nèi)有n(n>3)個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)紅球和(n－3)個(gè)白球，已知從口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球是紅球的概率為p.若6p∈N，有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個(gè)球)，在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于，求p與n的值． 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用 解 由題設(shè)知，Cp2(1－p)2>. ∵p(1－p)>0， ∴不等式化為p(1－p)>， 解得下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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