第2講 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。【知識(shí)梳理】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）一元二次方程的兩個(gè)根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【高效演練】1.若 是一元二次方程 的兩個(gè)根，則的值是()A2 B2 C4 D3【解析】：方程的兩根為，根據(jù)題意得故選D【答案】D2若，是方程x22x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2+2的值為（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 10【解析】，是方程x22x3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，+=2，=3，2+2=（+）22=222（3）=10故選D【答案】D3關(guān)于x的一元二次方程x2pxq0的兩根同為負(fù)數(shù)，則()A. p0且q0 B. p0且q0 C. p0且q0 D. p0且q0【解析】試題解析：設(shè)x1，x2是該方程的兩個(gè)負(fù)數(shù)根，則有x1+x20，x1x20，x1+x2=-p，x1x2=q-p0，q0p0，q0故選A【答案】A4.方程x2(m6)xm20有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1x2x1x2，則m的值是()A. 2或3 B. 3 C. 2 D. 3或25.規(guī)定：如果關(guān)于x的一元二次方程（a0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”現(xiàn)有下列結(jié)論：方程是倍根方程；若關(guān)于x的方程是倍根方程，則a=3；若關(guān)于x的方程（a0）是倍根方程，則拋物線與x軸的公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0）；若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于x的方程是倍根方程上述結(jié)論中正確的有（）ABCD【解析】關(guān)于x的方程（a0）是倍根方程，x2=2x1，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）和（4，0），故正確；點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)的圖象上，mn=4，解得x1=，x2=，x2=4x1，關(guān)于x的方程不是倍根方程；故選C【答案】C6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則=_.【解析】關(guān)于的方程： 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，.【答案】-37.若方程的兩實(shí)根為a、b，則的值為_。【解析】方程x2x1=0的兩實(shí)根為a、b，a+b=1，ab=1，【答案】-18設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_?！窘馕觥坑墒欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則且，又【答案】20179.關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 10.一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)比3大，一個(gè)比3小，的取值范圍為_?！窘馕觥拷庖唬河?解得：解二：設(shè)，則如圖所示，只須，解得【答案】11若關(guān)于x的一元二次方程x24x+k3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根及k的值【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=4，x1x2=k3又x1=3x2，聯(lián)立、，解方程組得，k=x1x2+3=31+3=6則方程兩根為x1=3，x2=1；k=6【答案】x1=3，x2=1；k=612.已知關(guān)于的方程（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足,求實(shí)數(shù)k的值.【解析】分析：（1）根據(jù)方程有實(shí)根可得0，進(jìn)而可得-2（k-3）2-41（k2-4k-1）0，再解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1x2= k2-4k-1可計(jì)算出m的值解析：（1）x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有實(shí)數(shù)根，=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k0，解得：k5；13.已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足【解析】(1) 方程兩實(shí)根的積為5 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時(shí)，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；當(dāng)時(shí)，由于，故不合題意，舍去綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足【答案】（1）；（2）.14.已知關(guān)于x的一元二次方程 ，其中k為常數(shù)（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍；（3）若原方程的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求k的最大整數(shù)值解析：（1）證明：=（k5）24（1k）=k26k+21=（k3）2+120，無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；（2）解：二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，二次項(xiàng)系數(shù)a=1，拋物線開口方向向上，=（k3）2+120，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x1+x2=5k0，x1x2=1k0，解得k1，即k的取值范圍是k1；（3）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1，x2，根據(jù)題意，得（x13）（x23）0，即x1x23（x1+x2）+90，又x1+x2=5k，x1x2=1k，代入得，1k3（5k）+90，解得k則k的最大整數(shù)值為2【答案】（1）證明見解析；（2）k1；（3）2【解題反思】：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)。15.已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值【解析】(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ，又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ，但不存在實(shí)數(shù)，使成立