71正切函數(shù)的定義72正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)內(nèi)容要求1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)ytan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)(重點).3.注重數(shù)形結(jié)合思想的應用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應用(難點)知識點1正切函數(shù)的定義(1)任意角的正切函數(shù)：如果角滿足R，k(kZ)，那么，角的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值，我們把它叫作角的正切函數(shù)，記作ytan ，其中R，k，kZ.(2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關系：根據(jù)定義知tan (R，k，kZ)(3)正切值在各象限的符號：根據(jù)定義知，當角在第一和第三象限時，其正切函數(shù)值為正；當角在第二和第四象限時，其正切函數(shù)值為負(4)正切線：在單位圓中令A(1,0)，過A作x軸的垂線，與角的終邊或終邊的延長線相交于T，稱線段AT為角的正切線【預習評價】1若角的終邊上有一點P(2x1,3)，且tan ，則x的值為()A7B8C15 D.解析由正切函數(shù)的定義tan ，解之得x8.答案B2函數(shù)ytan 2x的定義域為_解析由正切函數(shù)的定義知，若使ytan 2x有意義，則2xk(kZ)解得x(kZ)答案知識點2正切函數(shù)的圖像及特征(1)ytan x，xR且xk，kZ的圖像(正切曲線)：(2)正切曲線的特征：正切曲線是由被相互平行的直線xk(kZ)隔開的無窮多支曲線組成的這些直線叫作正切曲線各支的漸近線【預習評價】正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，那么正切函數(shù)的對稱中心只有一個嗎？提示正切函數(shù)的對稱中心除了原點外，諸如(，0)等都是對稱中心，正切函數(shù)有無數(shù)個對稱中心知識點3正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ytan x定義域值域R周期性周期為k(kZ，k0)，最小正周期為奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在(kZ)上是增加的【預習評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)()(2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間a，b，使ytan x是增加的()(3)若x是第一象限的角，則ytan x是增函數(shù)()(4)正切函數(shù)ytan x的對稱中心為(k，0)kZ.()題型一正切函數(shù)的定義【例1】已知角的終邊經(jīng)過點P(4a,3a)(a0)，求sin ，cos 、tan 的值解r5|a|，若a0，則r5a，角在第二象限，sin ，cos .tan ；若a0，則r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .規(guī)律方法已知角終邊上任一點的坐標(m，n)利用定義求tan 時，其值與該點的位置無關且tan .但要注意判斷角所在象限利用定義可求下列特殊角的正切：0tan 011【訓練1】若tan ，利用三角函數(shù)的定義，求sin 和cos .解tan 0，角是第一或第三象限角若角是第一象限角，則由tan ，角的終邊上必有一點P(2,1)，r|OP|.sin ，cos .若角是第三象限角，則由tan 知，角的終邊上必有一點P(2，1)，r|OP|.sin ，cos .題型二正切函數(shù)的圖像及應用【例2】利用正切函數(shù)的圖像作出y|tan x|的圖像并寫出使y的x的集合解當x時，ytan x0，當x時，ytan x0，y|tan x|如圖所示使y的x的集合為.規(guī)律方法1.作正切函數(shù)的圖像時，先畫一個周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移從而得到正切函數(shù)的圖像，通過圖像的特點，可用“三點兩線法”，這三點是，(0,0)，兩線是直線x為漸近線2如果由yf(x)的圖像得到y(tǒng)f(|x|)及y|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對稱變換法完成；即只需作出yf(x)(x0)的圖像，令其關于y軸對稱便可以得到y(tǒng)f(|x|)(x0)的圖像；同理只要作出yf(x)的圖像，令圖像“上不動，下翻上”便可得到y(tǒng)|f(x)|的圖像【訓練2】(1)函數(shù)y的定義域為_解析要使該函數(shù)有意義，則有即xk且xk.答案(2)根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tan x1的解集解作出ytan x及y1的圖像，如下圖滿足此不等式的x的集合為.方向1比較大小【例31】比較tan 1、tan 2、tan 3的大小解tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又<2<，<2<0.<3<，<3<0，顯然<2<3<1<，且ytan x在內(nèi)是增函數(shù)，tan (2)<tan (3)<tan 1，即tan 2<tan 3 <tan 1.方向2求解最值【例32】若x，求函數(shù)ytan2x2tan x2的最值及相應的x值解令ttan x，x，t，1，yt22t2(t1)21，當t1，即x時，ymin1，當t1，即x時，ymax5.方向3性質(zhì)的綜合應用【例33】已知f(x)atan x(a0)(1)判斷f(x)在x上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期；(3)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(4)若a0，求f(x)在上的值域解(1)f(x)atan x(a0)，x，f(x)atan(x)atan xf(x)又定義域關于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)(2)f(x)的最小正周期為.(3)ytan x在(kZ)上單調(diào)遞增，當a0時，f(x)在(kZ)上單調(diào)遞減，當a0時，f(x)在(kZ)上單調(diào)遞增(4)當a0時，f(x)在上單調(diào)遞減，故x時，f(x)maxa，無最小值f(x)的值域為(，a規(guī)律方法1.比較同名三角函數(shù)值的大小，實質(zhì)上是將兩個角利用周期性放在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大小2對于形如ytan(x)(、為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖像的研究，應以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像為基礎，運用整體思想和換元法求解如果<0，一般先利用誘導公式將x的系數(shù)化為正數(shù)，再進行求解.課堂達標1函數(shù)y3tan(2x)的定義域是()Ax|xk，kZBx|x，kZCx|x，kZDx|x，kZ解析由2xk(kZ)，解得x.答案C2函數(shù)f(x)tan(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(k，k)，kZB(k，(k1)，kZC(k，k)，kZD(k，k)，kZ解析由kxk，kZ.解之得kxk，故選C.答案C3已知點P(tan ，cos )在第二象限，則的終邊在第_象限解析由P點在第二象限tan 0，cos 0，在第四象限答案四4若角的終邊經(jīng)過點A，且tan ，則m_.解析由tan .m.答案5函數(shù)ytan(2x)圖像的一個對稱中心為，若，求的值解因為函數(shù)ytan(2x)的一個對稱中心為，2，kZ.，kZ.又，當k2時，；當k1時，.滿足題意的為或.課堂小結(jié)1作正切曲線簡圖時，只需先作出一個周期中的兩條漸近線x，x，然后描出三個點(0,0)，(，1)，(，1)，用光滑的曲線連接得到一條曲線，再平移至各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可2正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)都是三角函數(shù)，但應用它們的性質(zhì)時應注意它們的區(qū)別(1)正弦、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，值域為1,1，正切函數(shù)是無界函數(shù)，值域為R.(2)正弦、余弦函數(shù)的圖像是連續(xù)的，定義域為R，正切函數(shù)的圖像是不連續(xù)的，定義域為.(3)正弦、余弦函數(shù)均是既有增區(qū)間又有減區(qū)間，而正切函數(shù)在每一個區(qū)間(kZ)上都是增加的.基礎過關1已知sin tan 0，那么角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角解析若sin 0，tan 0，則在第二象限；若sin 0，tan 0，則在第三象限答案B2若已知角滿足sin ，cos ，則tan ()A. B. C. D.解析由三角函數(shù)定義可知tan .答案B3函數(shù)f(x)tan，xR的最小正周期為()A.BC2D4解析由2，故選C.答案C4使函數(shù)y2tan x與ycos x同時為單調(diào)遞增的區(qū)間是_解析由y2tan x與ycos x的圖像知，同時為單調(diào)遞增的區(qū)間為(2k，2k(kZ)和2k，2k)(kZ)答案(2k，2k(kZ)和2k，2k)(kZ)5函數(shù)ytan x的值域是_解析ytan x在區(qū)間上單調(diào)遞增tantan 1，tan，ytan x在上的值域是.答案1，6求函數(shù)ytan的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性解由3xk，kZ，得x，kZ.所以所求定義域為.值域為R，周期T，是非奇非偶函數(shù)在區(qū)間(kZ)上是增函數(shù)7利用函數(shù)圖像，解不等式1tan x.解作出函數(shù)ytan x的圖像，如圖所示觀察圖像可得：在內(nèi)，滿足條件的x為x，由正切函數(shù)的周期性可知，滿足不等式的x的解集為.能力提升8關于函數(shù)ytan，下列說法正確的是()A是奇函數(shù)B在區(qū)間上單調(diào)遞減C.為其圖像的一個對稱中心D最小正周期為解析函數(shù)ytan是非奇非偶函數(shù)，A錯誤；在區(qū)間上單調(diào)遞增，B錯誤；最小正周期為，D錯誤當x時，tan0，為其圖像的一個對稱中心，故選C.答案C9函數(shù)f(x)tan x (>0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y所得線段長為，則f的值是()A0B1C1 D.解析由題意，得T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.答案A10已知函數(shù)ytan x在(，)是減函數(shù)，則的取值范圍是_解析ytan x在(，)內(nèi)是減函數(shù)，<0且T.|1，即10.答案1,0)11求函數(shù)ytan2x4tan x1，x的值域為_解析x，1tan x1.令tan xt，則t1,1yt24t1(t2)25.當t1，即x時，ymin4，當t1，即x時，ymax4.故所求函數(shù)的值域為4,4答案4,412若函數(shù)f(x)tan2xatan x的最小值為6.求實數(shù)a的值解設ttan x，因為|x|，所以t1,1則原函數(shù)化為：yt2at2，對稱軸t.若11，則當t時，ymin6，所以a224(舍去)；若1，即a2時，二次函數(shù)在1,1上遞增，ymin21a6，所以a7；若1，即a2時，二次函數(shù)在1,1上遞減ymin21a6，所以a7.綜上所述，a7或a7.13(選做題)已知函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)定義域；(2)用定義判斷f(x)的奇偶性；(3)在，上作出f(x)的圖像；(4)寫出f(x)的最小正周期及單調(diào)性解(1)由cos x0得xk(kZ)，函數(shù)的定義域是.(2)由(1)知函數(shù)的定義域關于原點對稱又f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(3)f(x)f(x)(x，)的圖像如圖所示(4)f(x)的最小正周期為2，遞增區(qū)間是(kZ)，遞減區(qū)間是(kZ)