培優(yōu)點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn)1零點(diǎn)的判斷與證明例1：已知定義在上的函數(shù)，求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于【答案】見(jiàn)解析【解析】，在單調(diào)遞增，使得因?yàn)閱握{(diào)，所以的零點(diǎn)唯一2零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題例2：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】，當(dāng)時(shí)，所以，而有三個(gè)不同零點(diǎn)與有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得：3零點(diǎn)的性質(zhì)例3：已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ）ABCD【答案】C【解析】先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在中，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對(duì)稱，由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個(gè)周期中，關(guān)于中心對(duì)稱，以此類推。從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到），再看圖像，可視為將的圖像向左平移2個(gè)單位后再向上平移2個(gè)單位，所以對(duì)稱中心移至，剛好與對(duì)稱中心重合，如圖所示：可得共有3個(gè)交點(diǎn)，其中，與關(guān)于中心對(duì)稱，所以有。所以故選C4復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)例4：已知函數(shù)，若方程恰有七個(gè)不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】考慮通過(guò)圖像變換作出的圖像（如圖），因?yàn)樽疃嘀荒芙獬?個(gè)，若要出七個(gè)根，則，所以，解得：對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）ABCD【答案】B【解析】，函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)，的零點(diǎn)所在的區(qū)間是故選B2已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足（ ）ABCD的符號(hào)不確定【答案】C【解析】在上是增函數(shù)，若，則3函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則由題意得，解得，故選C4若，則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（ ）A和內(nèi)B和內(nèi)C和內(nèi)D和內(nèi)【答案】A【解析】，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間，內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間，內(nèi)，故選A5設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，分別畫(huà)出函數(shù)和的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)函數(shù)也有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3故選C6函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A3B2C7D0【答案】B【解析】方法一：由得或，解得或，因此函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn)方法二：函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個(gè)零點(diǎn)7已知函數(shù)，則使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選D8若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，與軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得或故選B9已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，畫(huà)出的大致圖象（圖略）觀察它與直線的交點(diǎn)，得知當(dāng)或時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn)故選D10已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，則，因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以，只有一個(gè)實(shí)根，即只有一個(gè)實(shí)根，則，解得11已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與的大致圖象分兩種情形：（1）當(dāng)時(shí)，如圖，當(dāng)時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意（2）當(dāng)時(shí)，如圖，要使與的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)，只需，即，解得或（舍去）綜上所述，故選B12已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個(gè)命題：（1）方程有且只有6個(gè)根（2）方程有且只有3個(gè)根（3）方程有且只有5個(gè)根（4）方程有且只有4個(gè)根則正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】每個(gè)方程都可通過(guò)圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù)（1）中可得，進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的，有2個(gè)，有2個(gè)，總計(jì)6個(gè)，（1）正確；（2）中可得，進(jìn)而有1個(gè)對(duì)應(yīng)的，有3個(gè)，總計(jì)4個(gè)，（2）錯(cuò)誤；（3）中可得，進(jìn)而有1個(gè)對(duì)應(yīng)的，有3個(gè)，有1個(gè)，總計(jì)5個(gè)，（3）正確；（4）中可得：，進(jìn)而有2個(gè)對(duì)應(yīng)的，有2個(gè)，共計(jì)4個(gè)，（4）正確則綜上所述，正確的命題共有3個(gè)二、填空題13函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】2【解析】由，得，作出函數(shù)和的圖象，由上圖知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)14設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，若，則所在的區(qū)間是_【答案】【解析】令，則，易知為增函數(shù)，且，所在的區(qū)間是15函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_【答案】2【解析】當(dāng)時(shí)，令，解得（正根舍去），所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)又因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為216已知函數(shù)，若方程恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】設(shè)，在同一直角坐標(biāo)系中作出，的圖象如圖所示由圖可知有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，所以有兩組不同解，消去得有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，即，解得或又由圖象得，或三、解答題17關(guān)于的二次方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】【解析】顯然不是方程的解，時(shí)，方程可變形為，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的取值范圍是，故的取值范圍是18設(shè)函數(shù)（1）作出函數(shù)的圖象；（2）當(dāng)且時(shí)，求的值；（3）若方程有兩個(gè)不相等的正根，求的取值范圍【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）【解析】（1）如圖所示（2）故在上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)由且，得且，（3）由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正根