重點(diǎn)增分專題十四 坐標(biāo)系與參數(shù)方程全國(guó)卷3年考情分析年份全國(guó)卷全國(guó)卷全國(guó)卷2018極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、曲線方程的求解參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用參數(shù)方程與普通方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用2017參數(shù)方程與普通方程的互化、點(diǎn)到直線的距離直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法2016參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)的最值(1)坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用(2)全國(guó)課標(biāo)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 保分考點(diǎn)練后講評(píng)1.(2018全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|2.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為(x)2(y2)24，直線C2的方程為yx，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程解：曲線C1的普通方程為(x)2(y2)24，即x2y22x4y30，曲線C1的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 30.直線C2的方程為yx，直線C2的極坐標(biāo)方程為(R)3.(2017全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)，由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB面積S|OA|BsinAOB4cos sin2.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.解題方略1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程的互化(1)直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程時(shí)，可以直接將xcos ，ysin 代入即可(2)極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程時(shí)，一般需要構(gòu)造2，sin ，cos ，常用的技巧有式子兩邊同乘以，兩角和與差的正弦、余弦展開等2求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法(1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合使用；(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo). 保分考點(diǎn)練后講評(píng)1.在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為sin2cos 0，M.以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系斜率為1的直線l過點(diǎn)M，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)求曲線C和直線l的參數(shù)方程解：由sin2cos 0得2sin2cos ，y2x，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2x.故曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由題意，M的直角坐標(biāo)為(0,1)，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))2.(2018全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為ytan x2tan ，當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.解題方略參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個(gè)方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運(yùn)用三角恒等式法(3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：t1；224；221. 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 分點(diǎn)研究題型一直線的參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用例1(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos 0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值解(1)曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)，曲線C1的普通方程為xya10.曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos24cos 0，2cos24cos 20，又cos x，2x2y2，x24xx2y20，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y24x.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由得t22t28a0.(2)24(28a)>0，即a>0，根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可知|PA|t1|，|PB|t2|，由|PA|2|PB|得t12t2或t12t2，當(dāng)t12t2時(shí)，有解得a>0，符合題意，當(dāng)t12t2時(shí)，有解得a>0，符合題意綜上所述，a或a.變式1本例(2)的條件變?yōu)閨PA|PB|6.求實(shí)數(shù)a的值解：由本例解析知|PA|PB|t1|t2|t1t2|28a|6，解得a1或.又a>0，a1.變式2若本例曲線C1變?yōu)檫^點(diǎn)P(0，1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其他條件不變，求|PA|PB|.解：曲線C1的參數(shù)方程化為代入曲線C2的方程y24x得t26t20.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1>0，t2>0.|PA|PB|t1|t2|t1t2|6.解題方略利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.題型二極坐標(biāo)方程中極徑幾何意義的應(yīng)用例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2sin3，射線OM：與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)解(1)由圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，可得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，即x2y22x0.由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式可得，圓C的極坐標(biāo)方程為2cos .(2)由得P，由得Q，結(jié)合圖可得|PQ|OQ|OP|Q|P|312.解題方略極徑的幾何意義及其應(yīng)用(1)幾何意義：極徑表示極坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離(2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過極點(diǎn)的直線與曲線相交，所得的弦長(zhǎng)問題，需要用極徑表示出弦長(zhǎng)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題多練強(qiáng)化1(2019屆高三湖北八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2的距離的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1)曲線C1的普通方程為y21，由sin，得sin cos 2，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos ，sin )，則點(diǎn)P到C2的距離為，當(dāng)sin1，即2k(kZ)，2k(kZ)時(shí)，所求距離最大，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2(2018南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為1(1R)，2(2R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點(diǎn)分別為O，M和O，N，求OMN的面積解：(1)由參數(shù)方程得普通方程為x2(y2)24，把代入x2(y2)24，得24sin 0.所以曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin .(2)由直線l1：1(1R)與曲線C的交點(diǎn)為O，M，得|OM|4sin2.由直線l2：2(2R)與曲線C的交點(diǎn)為O，N，得|ON|4sin 2.易知MON，所以SOMN|OM|ON|222. 1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為4cos ，.(1)求半圓C的參數(shù)方程；(2)若半圓C與圓D：(x5)2(y)2m(m是常數(shù)，m0)相切，試求切點(diǎn)的直角坐標(biāo)解：(1)半圓C的普通方程為(x2)2y24(0y2)，則半圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)(2)C，D的圓心坐標(biāo)分別為(2,0)，(5，)，于是直線CD的斜率k.由于切點(diǎn)必在兩個(gè)圓心的連線上，故切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t滿足tan t，t，所以切點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，即(2，1)2(2018貴陽摸底考試)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cos.(1)寫出C的普通方程，并用(為直線的傾斜角，t為參數(shù))的形式寫出直線l的一個(gè)參數(shù)方程；(2)l與C是否相交？若相交，求出兩交點(diǎn)的距離，若不相交，請(qǐng)說明理由解：(1)C的普通方程為y21，由cos得xy20，則直線l的傾斜角為，又直線l過點(diǎn)(2,0)，得直線l的一個(gè)參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程得5t24t0，解得t10，t2，顯然l與C有兩個(gè)交點(diǎn)，分別記為A，B，且|AB|t1t2|.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos3.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)解：(1)曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，普通方程為x21，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos3，即cos sin 60，直角坐標(biāo)方程為xy60.(2)設(shè)P(cos ，sin )，則|PQ|的最小值為P到xy60距離，即，當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí)，|PQ|取得最小值2，此時(shí)P.4(2018貴陽適應(yīng)性考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 cos1.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)過點(diǎn)M(1,0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和解：(1)曲線C的普通方程為y21，由cos1，得cos sin 2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入y21中，化簡(jiǎn)得2t2t20，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，t1t21，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|.5(2018福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線C2的方程為yx.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求.解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x2)2(y2)21，則C1的極坐標(biāo)方程為24cos 4sin 70，由于直線C2過原點(diǎn)，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為(R)(tan )(2)由得2(22)70，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，則1222，127，.6極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos ，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0)，射線，與曲線C1交于(不包括極點(diǎn)O)三點(diǎn)A，B，C.(1)求證：|OB|OC|OA|；(2)當(dāng)時(shí)，B，C兩點(diǎn)在曲線C2上，求m與的值解：(1)證明：設(shè)點(diǎn)A，B，C的極坐標(biāo)分別為(1，)，因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C在曲線C1上，所以14cos ，24cos，34cos，所以|OB|OC|234cos4cos4cos 1，故|OB|OC|OA|.(2)由曲線C2的方程知曲線C2是經(jīng)過定點(diǎn)(m,0)且傾斜角為的直線當(dāng)時(shí)，B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2，2，化為直角坐標(biāo)為B(1，)，C(3，)，所以tan ，又0，所以.故曲線C2的方程為y(x2)，易知曲線C2恒過點(diǎn)(2,0)，即m2.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中0，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1：4cos .直線l與曲線C1相切(1)將曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求的值(2)已知點(diǎn)Q(2,0)，直線l與曲線C2：x21交于A，B兩點(diǎn)，求ABQ的面積解：(1)曲線C1：4cos ，即24cos ，化為直角坐標(biāo)方程為x2y24x，即C1：(x2)2y24，可得圓心(2,0)，半徑r2，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中0，由題意l與C1相切，可得普通方程為yk(x1)，ktan ，0且，因?yàn)橹本€l與曲線C1相切，所以2，所以k，所以.(2)直線l的方程為yx，代入曲線C2：x21，整理可得10x24x50，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，所以|AB|，Q到直線的距離d2，所以ABQ的面積S2.8已知直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與直線L夾角為的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值解：(1)由(t為參數(shù))，得L的普通方程為2xy60，令xcos ，ysin ，得直線L的極坐標(biāo)方程為2cos sin 60，由曲線C的極坐標(biāo)方程，知232cos24，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x21.(2)由(1)，知直線L的普通方程為2xy60，設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(cos ，2sin )，則點(diǎn)P到直線L的距離d.由題意得|PA|，所以當(dāng)sin1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.