2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.平面向量的數(shù)量積(重點)2.平面向量數(shù)量積的幾何意義(難點)3.向量的數(shù)量積與實數(shù)的乘法的區(qū)別(易混點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1平面向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為，數(shù)量|a|b|cos 叫做向量a與b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cos .特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.思考：向量的數(shù)量積的運算結(jié)果與線性運算的結(jié)果有什么不同？提示數(shù)量積的運算結(jié)果是實數(shù)，線性運算的運算結(jié)果是向量2向量的數(shù)量積的幾何意義(1)投影的概念：b在a的方向上的投影為|b|cos ；a在b的方向上的投影為|a|cos .(2)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積思考：投影一定是正數(shù)嗎？提示投影可正、可負(fù)也可以為零3向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直向量ab0平行向量同向ab|a|b|反向ab|a|b|向量的模aa|a|2或|a|求夾角cos 不等關(guān)系ab|a|b|4向量數(shù)量積的運算律(1)abba(交換律)(2)(a)b(ab)a(b)(結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)向量的夾角和直線的傾斜角的范圍相同()(2)設(shè)非零向量a與b的夾角為，則cos >0ab>0.()(3)|ab|ab.()(4)(ab)2a2b2.()解析(1).因向量的夾角包括180，直線的傾斜角不包括180.(2).由數(shù)量積的定義可知(3).|ab|ab，(4).(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2.答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a，b滿足|a|2，|b|，且a與b的夾角為60，那么ab等于_ab|a|b|cos 602.3已知|b|3，a在b方向上的投影是，則ab為_2設(shè)a與b的夾角為，則a在b方向上的投影|a|cos ，所以ab|b|a|cos 32.合 作 探 究攻 重 難向量數(shù)量積的計算及其幾何意義(1)已知單位向量e1，e2的夾角為，a2e1e2，則a在e1上的投影是_(2)給出下列結(jié)論：若a0，ab0，則b0；若abbc，則ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正確結(jié)論的序號是_(3)已知向量a與b滿足|a|10，|b|3，且向量a與b的夾角為120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab). 思路探究根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及投影的定義解答(1)(2)(1)設(shè)a與e1的夾角為，則a在e1上的投影為|a|cos ae1(2e1e2)e12ee1e2211cos.(2)因為兩個非零向量a，b垂直時，ab0，故不正確；當(dāng)a0，bc時，abbc0，但不能得出ac，故不正確；向量(ab)c與c共線，a(bc)與a共線，故不正確；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正確(3)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因為|a|10，|b|3，且向量a與b的夾角為120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.規(guī)律方法求平面向量數(shù)量積的步驟是：(1)求a與b的夾角，0，；(2)分別求|a|和|b|；(3)求數(shù)量積，即ab|a|b|cos ，要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“”連接，而不能用“”連接，也不能省去.求投影的兩種方法：(1)b在a方向上的投影為|b|cos (為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cos .(2)b在a方向上的投影為，a在b方向上的投影為.跟蹤訓(xùn)練1(1)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，則的值為_設(shè)a，b，由已知得|a|3，|b|2，ab|a|b|cos 603，因為2，所以2()，所以ab，所以(ba)aba2b2(2)944，解得.(2)設(shè)非零向量a和b，它們的夾角為.若|a|5，150，求a在b方向上的投影；若ab9，|a|6，求b在a方向上的投影解|a|cos 5cos 1505，a與b方向上的投影為.，b在a方向上的投影為.與向量模有關(guān)的問題(1)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_.(2)已知向量a與b夾角為45，且|a|1，|2ab|，求|b|. 思路探究靈活應(yīng)用a2|a|2求向量的模(1)2(1)|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，所以|a2b|2.(2)因為|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因為向量a與b的夾角為45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)規(guī)律方法求向量的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2|a|2，勿忘記開方.(2)aaa2|a|2或|a|，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.,(3)一些常見的等式應(yīng)熟記，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等.跟蹤訓(xùn)練2已知向量a、b滿足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.解由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|.與向量垂直、夾角有關(guān)的問題探究問題1設(shè)a與b都是非零向量，若ab，則ab等于多少？反之成立嗎？提示：abab0.2|ab|與|a|b|的大小關(guān)系如何？為什么？對于向量a，b，如何求它們的夾角？提示：|ab|a|b|，設(shè)a與b的夾角為，則ab|a|b|cos .兩邊取絕對值得：|ab|a|b|cos |a|b|.當(dāng)且僅當(dāng)|cos |1，即cos 1，0或時，取“”，所以|ab|a|b|，cos .(1)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1ke2與ke1e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為_(2)已知非零向量a，b滿足a3b與7a5b互相垂直，a4b與7a2b互相垂直，求a與b的夾角. 思路探究(1)兩個向量夾角為銳角等價于這兩個向量數(shù)量積大于0且方向不相同(2)由互相垂直的兩個向量的數(shù)量積為0列方程，推出|a|與|b|的關(guān)系，再求a與b的夾角(1)(0,1)(1，)(1)e1ke2與ke1e2的夾角為銳角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.當(dāng)k1時，e1ke2ke1e2，它們的夾角為0，不符合題意，舍去綜上，k的取值范圍為k0且k1.(2)由已知條件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.母題探究：1.將例3(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”其他條件不變，求k的取值范圍解e1ke2與ke1e2的夾角為鈍角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.當(dāng)k1時e1ke2與ke1e2方向相反，它們的夾角為，不符合題意，舍去綜上，k的取值范圍是k0且k1.2將例3(1)中的條件“銳角”改為“”，求k的值解由已知得|e1ke2|，|ke1e2|，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k，則cos，即整理得k24k10解得k2.規(guī)律方法1.求向量夾角的方法：(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos 求解(2)用同一個量表示ab，|a|，|b|代入公式求解(3)借助向量運算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角2要注意夾角的范圍0，當(dāng)cos 0時，；當(dāng)cos 0時，當(dāng)cos 0時，.當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基1(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)()A4B3C2D0B因為|a|1，ab1，所以a(2ab)2|a|2ab212(1)3，故選B.2設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a3e12e2，b3e14e2，則ab等于()A2 B1C1D2B因為|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28|e2|26e1e2912812601.故選B.3已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b的方向上的投影為_. 設(shè)a與b的夾角為，因為ab|a|b|cos 12，又|b|5，所以|a|cos ，即a在b方向上的投影為.4若ab0，則a與b的夾角的取值范圍是_因為ab|a|b|cos 0，所以cos 0，又0，所以.5已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|. 解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.