2.3.2事件的獨(dú)立性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在具體情境中，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.能利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)一事件的獨(dú)立性甲箱里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱里裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球從這兩個(gè)箱子里分別摸出1個(gè)球，記事件A“從甲箱里摸出白球”，事件B“從乙箱里摸出白球”思考1事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率嗎？思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值為多少？思考3P(AB)與P(A)，P(B)有什么關(guān)系？梳理事件獨(dú)立的定義一般地，若事件A，B滿足_，則稱事件A，B獨(dú)立知識(shí)點(diǎn)二事件獨(dú)立的性質(zhì)思考1若A，B獨(dú)立，P(AB)與P(A)P(B)相等嗎？思考2若A，B獨(dú)立，那么A與，與B，與相互獨(dú)立嗎？梳理事件獨(dú)立的性質(zhì)及P(AB)的計(jì)算公式性質(zhì)(1)若A，B獨(dú)立，且P(A)0，則B，A也獨(dú)立，即A與B_.(2)約定任何事件與必然事件獨(dú)立，任何事件與不可能事件獨(dú)立，則兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立的充要條件是_概率計(jì)算公式(1)若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率之積，即P(AB)P(A)P(B)(2)推廣：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立，則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2An)_結(jié)論如果事件A與B相互獨(dú)立，那么_與_，_與_，_與_也都相互獨(dú)立類型一事件獨(dú)立性的判斷例1分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A是“第一枚為正面”，事件B是“第二枚為正面”，事件C是“兩枚結(jié)果相同”，則下列事件具有相互獨(dú)立性的有_(填序號(hào))A，B；A，C；B，C.反思與感悟三種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性(1)定義法：直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響(2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)P(A)P(B)是否成立(3)條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)P(B)判斷跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩，B一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩對(duì)下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：(1)家庭中有兩個(gè)小孩；(2)家庭中有三個(gè)小孩類型二求相互獨(dú)立事件的概率引申探究1在本例條件下，求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率2若一列火車正點(diǎn)到達(dá)計(jì)10分，用表示三列火車的總得分，求P(20)例2小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7，0.9，假設(shè)這三列火車是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響求：(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率反思與感悟明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義一般地，已知兩個(gè)事件A，B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件AB.(2)A，B都發(fā)生為事件AB.(3)A，B都不發(fā)生為事件 .(4)A，B恰有一個(gè)發(fā)生為事件AB.(5)A，B中至多有一個(gè)發(fā)生為事件AB .跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩人破譯一密碼，他們能破譯的概率分別為和，求兩人破譯時(shí)，以下事件發(fā)生的概率：(1)兩人都能破譯的概率；(2)恰有一人能破譯的概率；(3)至多有一人能破譯的概率類型三相互獨(dú)立事件的綜合應(yīng)用例3在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾要彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的概率分布反思與感悟概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反：靈活應(yīng)用對(duì)立事件的概率關(guān)系(P(A)P()1)簡(jiǎn)化問題，是求解概率問題最常用的方法(2)化繁為簡(jiǎn)：將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系“所求事件”分幾類(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件)(3)方程思想：利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解跟蹤訓(xùn)練3甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率1甲、乙兩水文站同時(shí)做水文預(yù)報(bào)，若甲站、乙站各自預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率分別為0.8和0.7，那么在一次預(yù)報(bào)中，甲、乙預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為_2打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊，則他們同時(shí)中靶的概率是_3甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球從每袋中任取一個(gè)球，則取得同色球的概率為_4在某道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為_5甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行一次投籃，如果兩人投中的概率都是0.6，計(jì)算：(1)兩人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有1人投中的概率1相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即AB概率公式A與B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB) P(A)P(B)若A與B互斥，則P(AB)P(A)P(B)，反之不成立2.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)，即兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1不影響思考2P(A)，P(B)，P(AB).思考3P(AB)P(A)P(B)梳理P(A|B)P(A)知識(shí)點(diǎn)二思考1相等因?yàn)镻(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B)思考2獨(dú)立梳理相互獨(dú)立P(AB)P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)AB題型探究例1解析利用古典概型概率公式計(jì)算可得P(A)0.5，P(B)0.5，P(C)0.5，P(AB)0.25，P(AC)0.25，P(BC)0.25.可以驗(yàn)證P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C)所以根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義，事件A與B相互獨(dú)立，事件B與C相互獨(dú)立，事件A與C相互獨(dú)立跟蹤訓(xùn)練1解(1)有兩個(gè)小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，它有4個(gè)基本事件，由等可能性知概率都為.這時(shí)A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB).由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨(dú)立(2)有三個(gè)小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)由等可能性知這8個(gè)基本事件的概率均為，這時(shí)A中含有6個(gè)基本事件，B中含有4個(gè)基本事件，AB中含有3個(gè)基本事件于是P(A)，P(B)，P(AB)，顯然有P(AB)P(A)P(B)成立，從而事件A與B是相互獨(dú)立的例2解用A，B，C分別表示這三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件，則P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，所以P()0.2，P()0.3，P()0.1.(1)由題意得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1P(BC)P(AC)P(AB)P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.(2)三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P21P( )1P()P()P()10.20.30.10.994.引申探究1解恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為P3P(A )P(B)P( C)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2解事件“20”表示“至多兩列火車正點(diǎn)到達(dá)”，其對(duì)立事件為“三列火車都正點(diǎn)到達(dá)”，所以P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)10.80.70.90.496.跟蹤訓(xùn)練2解記事件A為“甲獨(dú)立地破譯出密碼”，事件B為“乙獨(dú)立地破譯出密碼”(1)兩個(gè)人都破譯出密碼的概率為P(AB)P(A)P(B).(2)恰有一人破譯出密碼分為兩類：甲破譯出乙破譯不出，乙破譯出甲破譯不出，即AB，P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).(3)至多有一人破譯出密碼的對(duì)立事件是兩人都破譯出密碼，其概率為1P(AB)1.例3解(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P(A)，P(B).因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，所以觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C)，因?yàn)閄可能的取值為0,1,2,3，且取這些值的概率分別為P(X0)P( )，P(X1)P(A )P(B)P( C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC).所以X的概率分布如下表：X0123P跟蹤訓(xùn)練3解(1)設(shè)A，B，C分別為甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件由題意得即由得P(B)1P(C)，代入得27P(C)251P(C)220，解得P(C)或P(C)(舍去)將P(C)代入，得P(B)，將P(B)代入，得P(A).故甲，乙，丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是，.(2)記D為從甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，其中至少有一個(gè)一等品的事件，則P(D)1P()11P(A)1P(B)1P(C)1.故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為.當(dāng)堂訓(xùn)練10.562.3.4.5解(1)設(shè)A表示事件“甲投籃一次并且投中”，B表示事件“乙投籃一次并且投中”，則AB表示事件“兩人各投籃一次并且都投中”由題意可知，事件A與事件B相互獨(dú)立，P(AB)P(A)P(B)0.60.60.36.(2)事件“兩人各投籃一次，恰好有一人投中”包括兩種情況：一種是甲投中，乙未投中(事件A發(fā)生)；另一種是甲未投中，乙投中(事件B發(fā)生)根據(jù)題意得這兩種情況不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A與B互斥，并且事件A與，與B相互獨(dú)立，故所求概率為P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.6(10.6)(10.6)0.60.48.(3)事件“兩人各投籃一次，至少有一人投中”的對(duì)立事件為“兩人各投籃一次，均未投中”，它的概率是P( )P()P()(10.6)(10.6)0.16.至少有一人投中的概率為1P( )10.160.84.