3.3 計算導數(shù)基礎達標1.已知函數(shù)f(x)，則f(2)()A4 B.C4 D解析：選D.f(x)x2，f(x)2x3，f(2)22322.2.已知函數(shù)f(x)cos x，f(x)1，則x()A. BC.2k，kZ D2k，kZ解析：選C.f(x)sin x，則sin x1，x2k，kZ.曲線yxn(nN)在x2處的導數(shù)為12，則n等于()A1 B2C3 D4解析：選C.ynxn1，函數(shù)yxn(xN)在x2處的導數(shù)為n2n112，n3.已知f(x)ln x，則f(1)f(1)()A1 B2C0 D2解析：選A.f(1)ln 10，f(x)，f(1)1，f(1)f(1)011.若對任意xR，f(x)4x3，f(1)1，則f(x)()Ax4 Bx42C4x35 Dx42解析：選B.設f(x)xnc，則f(x)nxn14x3，n4，f(1)1c1，c2，故f(x)x42.設正弦曲線ycos x上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是_解析：kl(cos x)sin x1，1，又傾斜角范圍是0，)，傾斜角范圍是0，)答案：0，)若指數(shù)函數(shù)f(x)ax(a0，a1)滿足f(1)ln 27，則f(1)_解析：f(x)axln a，f(1)aln a3ln 3，a3，故f(1)31ln 3.答案：8.已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，則x_解析：f(x)2x，g(x)，由題意2x1，即2x2x10，x1或x(舍)答案：19.求曲線y與拋物線y的交點坐標，并分別求在交點處的兩曲線的切線的斜率解：由，得，x31，x1，y1，兩曲線的交點坐標為(1，1)由y，得y(x1)x2，該曲線在點(1，1)處的切線的斜率k1y|x11.又由y，得y(x)x，該曲線在點(1，1)處的切線的斜率k2y|x1.10.若曲線f(x)acos x與曲線g(x)x2bx1在交點(0，m)處有公切線，求ab的值解：依題意得：f(x)asin x，g(x)2xb，于是有f(0)g(0)，即asin 020b，b0.mf(0)g(0)1，即ma1，因此ab1.能力提升設f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2 014(x)等于()Asin x Bsin xCcos x Dcos x解析：選B.f0(x)sin x，f1(x)f0(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x.f4(x)f3(x)sin x.f2 014(x)f2(x)sin x.2.設函數(shù)f(x)D是由x軸和曲線yf(x)及該曲線在點(1，0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為_解析：f(x)在(1，0)處的切線方程為yx1，如圖，可行域為陰影部分，易求出目標函數(shù)zx2y的最優(yōu)解(0，1)，即z的最大值為2.答案：23.已知直線x2y40與拋物線y2x相交于A、B兩點，O是坐標原點，試在拋物線的弧上求一點P，使ABP的面積最大解：設P(x0，y0)，過點P與AB平行的直線為l，如圖由于直線x2y40與拋物線y2x相交于A、B兩點，所以|AB|為定值，要使ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大，而P點是拋物線的弧上的一點，因此點P是拋物線上平行于直線AB的切線的切點，由圖知點P在x軸上方，y，y，由題意知kAB.kl，即x01，y01.P(1，1)4討論關于x的方程ln xkx的解的個數(shù)解：如圖，方程ln xkx的解的個數(shù)就是直線ykx與曲線yln x的交點的個數(shù)設直線ykx與yln x相切于P(x0，ln x0)，則kx0ln x0.(ln x)，k，kx01ln x0.x0e，k.結合圖像可知：當k0或k時，方程ln xkx有一解當0<k<時，方程ln xkx有兩解當k>時，方程ln xkx無解