一 二維形式的柯西不等式 1．二維形式的柯西不等式 (1)定理1：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號成立． (2)二維形式的柯西不等式的推論： (a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d為非負(fù)實(shí)數(shù))； ≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． 2．柯西不等式的向量形式 定理2：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|αβ|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號成立． [注意]　柯西不等式的向量形式中αβ≤|α||β|，取等號“＝”的條件是β＝0或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ. 3．二維形式的三角不等式 (1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)． 當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1，P2與O共線，并且P1，P2點(diǎn)在原點(diǎn)O異側(cè)時(shí)，等號成立． (2)推論：對于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 ＋ ≥. 事實(shí)上，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P1，P2，P3的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根據(jù)△P1P2P3的邊長關(guān)系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1，P2，P3共線，并且點(diǎn)P1，P2在P3點(diǎn)的異側(cè)時(shí)，等號成立． 利用柯西不等式證明不等式 [例1]　已知θ為銳角，a，b∈R＋，求證：＋≥(a＋b)2. [思路點(diǎn)撥]　可結(jié)合柯西不等式，將左側(cè)構(gòu)造成乘積形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ”，然后用柯西不等式證明． [證明]　∵＋ ＝(cos2θ＋sin2θ) ≥2 ＝(a＋b)2， ∴(a＋b)2≤＋. 利用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式，把已知條件利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、變量代換等，將條件構(gòu)造成柯西不等式的基本形式，從而利用柯西不等式證明，但應(yīng)注意等號成立的條件． 1．已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)． 求證：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2. 證明：∵(a1b1＋a2b2) ＝[()2＋()2] ≥2＝(a1＋a2)2. ∴原不等式成立． 2．設(shè)a，b，c為正數(shù)， 求證：＋＋≥ (a＋b＋c)． 證明：由柯西不等式， 得 ≥a＋b， 即≥a＋b. 同理：≥b＋c， ≥a＋c， 將上面三個(gè)同向不等式相加得： ≥2(a＋b＋c) ∴ ＋ ＋≥ (a＋b＋c)． 3．設(shè)a，b∈R＋，且a＋b＝2.求證：＋≥2. 證明：根據(jù)柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)] ＝[()2＋()2] ≥2 ＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2. ∴原不等式成立. 利用二維形式的柯西不等式求最值 [例2]　求函數(shù)y＝3sin α＋4cos α的最大值． [思路點(diǎn)撥]　函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值． [解]　由柯西不等式得 (3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2 α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5. 當(dāng)且僅當(dāng)＝>0即sin α＝，cos α＝時(shí)取等號，即函數(shù)的最大值為5. 利用柯西不等式求最值的注意點(diǎn) (1)變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件； (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以利用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧； (3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯(cuò)誤．多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值． 解：∵2x＋y＝x＋1y≤＝＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號． ∴2x＋y的最大值為. 5．求函數(shù)y ＝＋的最小值． 解：y＝＋， y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋(7＋2)＝11＋2. 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x＝時(shí)等號成立． 此時(shí)ymin＝＝＋1. 1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的大小關(guān)系是(　　) A．P≤Q　　　　　　　 B．P＜Q C．P≥Q D．P＞Q 解析：選A　設(shè)m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|mn|≤|m||n|＝＝＝ ， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q. 2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是(　　) A．[－2，2 ] B．[－2，2 ] C．[－， ] D．(－，) 解析：選A　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2， ∵a2＋b2＝10， ∴(a－b)2≤20. ∴－2≤a－b≤2. 3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　(2x2＋3y2)[()2＋()2]≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)取等號， 即2x2＋3y2≥. 故2x2＋3y2的最小值為. 4．函數(shù)y＝＋2的最大值是(　　) A. B. C．3 D．5 解析：選B　根據(jù)柯西不等式，知y＝1＋2≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號． 5．設(shè)xy>0，則的最小值為________． 解析：原式＝≥x＋y2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝時(shí)取等號． 答案：9 6．設(shè)a＝(－2,1,2)，|b|＝6，則ab的最小值為________，此時(shí)b＝________. 解析：根據(jù)柯西不等式的向量形式，有|ab|≤|a||b|， ∴|ab|≤6＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k， 使a＝kb時(shí)，等號成立． ∴－18≤ab≤18， ∴ab的最小值為－18， 此時(shí)b＝－2a＝(4，－2，－4)． 答案：－18　(4，－2，－4) 7．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值為________． 解析：由柯西不等式得 (2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]＝(3x2＋2y2)≤6＝11，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)取等號，故P＝2x＋y的最大值為. 答案： 8．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求證：＋≥2. 證明：＋＝(x＋y) ＝[ ()2＋()2] ≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)x＝1，y＝1. 所以＋≥2. 9．若x2＋4y2＝5，求x＋y的最大值及此時(shí)x，y的值． 解：由柯西不等式得 [x2＋(2y)2]≥(x＋y)2， 即(x＋y)2≤5＝，x＋y≤. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝4y時(shí)取等號． 由得或(舍去)． ∴x＋y的最大值為， 此時(shí)x＝2，y＝. 10．求函數(shù)f(x)＝3cos x＋4的最大值，并求出相應(yīng)的x的值． 解：設(shè)m＝(3,4)，n＝(cos x，)， 則f(x)＝3cos x＋4 ＝|mn|≤|m||n| ＝ ＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時(shí)，上式取“＝”． 此時(shí)，3 －4cos x＝0. 解得sin x＝，cos x＝. 故當(dāng)sin x＝，cos x＝時(shí)． f(x)＝3cos x＋4 取最大值5.