2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5-.doc
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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5-.doc
一 二維形式的柯西不等式
1.二維形式的柯西不等式
(1)定理1:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號成立.
(2)二維形式的柯西不等式的推論:
(a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d為非負(fù)實(shí)數(shù));
≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);
≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R).
2.柯西不等式的向量形式
定理2:設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則|αβ|≤|α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號成立.
[注意] 柯西不等式的向量形式中αβ≤|α||β|,取等號“=”的條件是β=0或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ.
3.二維形式的三角不等式
(1)定理3:+≥(x1,y1,x2,y2∈R).
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1,P2與O共線,并且P1,P2點(diǎn)在原點(diǎn)O異側(cè)時(shí),等號成立.
(2)推論:對于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有
+
≥.
事實(shí)上,在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)P1,P2,P3的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根據(jù)△P1P2P3的邊長關(guān)系有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)P1,P2,P3共線,并且點(diǎn)P1,P2在P3點(diǎn)的異側(cè)時(shí),等號成立.
利用柯西不等式證明不等式
[例1] 已知θ為銳角,a,b∈R+,求證:+≥(a+b)2.
[思路點(diǎn)撥] 可結(jié)合柯西不等式,將左側(cè)構(gòu)造成乘積形式,利用“1=sin2θ+cos2θ”,然后用柯西不等式證明.
[證明] ∵+
=(cos2θ+sin2θ)
≥2
=(a+b)2,
∴(a+b)2≤+.
利用柯西不等式證明不等式的關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式,把已知條件利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、變量代換等,將條件構(gòu)造成柯西不等式的基本形式,從而利用柯西不等式證明,但應(yīng)注意等號成立的條件.
1.已知a1,a2,b1,b2為正實(shí)數(shù).
求證:(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2.
證明:∵(a1b1+a2b2)
=[()2+()2]
≥2=(a1+a2)2.
∴原不等式成立.
2.設(shè)a,b,c為正數(shù),
求證:++≥ (a+b+c).
證明:由柯西不等式,
得 ≥a+b,
即≥a+b.
同理:≥b+c,
≥a+c,
將上面三個(gè)同向不等式相加得:
≥2(a+b+c)
∴ + +≥ (a+b+c).
3.設(shè)a,b∈R+,且a+b=2.求證:+≥2.
證明:根據(jù)柯西不等式,有
[(2-a)+(2-b)]
=[()2+()2]
≥2
=(a+b)2=4.
∴+≥=2.
∴原不等式成立.
利用二維形式的柯西不等式求最值
[例2] 求函數(shù)y=3sin α+4cos α的最大值.
[思路點(diǎn)撥] 函數(shù)的解析式是兩部分的和,若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值.
[解] 由柯西不等式得
(3sin α+4cos α)2≤(32+42)(sin2α+cos2 α)=25,
∴3sin α+4cos α≤5.
當(dāng)且僅當(dāng)=>0即sin α=,cos α=時(shí)取等號,即函數(shù)的最大值為5.
利用柯西不等式求最值的注意點(diǎn)
(1)變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,是利用柯西不等式求解的先決條件;
(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式,但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng),就可以利用柯西不等式來解,這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧;
(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的,但在運(yùn)用過程中,每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致,不能自相矛盾,否則就會出現(xiàn)錯(cuò)誤.多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
4.已知2x2+y2=1,求2x+y的最大值.
解:∵2x+y=x+1y≤==,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=時(shí)取等號.
∴2x+y的最大值為.
5.求函數(shù)y =+的最小值.
解:y=+,
y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+(7+2)=11+2.
當(dāng)且僅當(dāng)=,
即x=時(shí)等號成立.
此時(shí)ymin==+1.
1.已知a,b∈R+且a+b=1,則P=(ax+by)2與Q=ax2+by2的大小關(guān)系是( )
A.P≤Q B.P<Q
C.P≥Q D.P>Q
解析:選A 設(shè)m=(x,y),n=(,),
則|ax+by|=|mn|≤|m||n|=== ,
∴(ax+by)2≤ax2+by2,即P≤Q.
2.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a-b的取值范圍是( )
A.[-2,2 ]
B.[-2,2 ]
C.[-, ]
D.(-,)
解析:選A (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,
∵a2+b2=10,
∴(a-b)2≤20.
∴-2≤a-b≤2.
3.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:選B (2x2+3y2)[()2+()2]≥(x+y)2=[(x+y)]2=6,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號,
即2x2+3y2≥.
故2x2+3y2的最小值為.
4.函數(shù)y=+2的最大值是( )
A. B.
C.3 D.5
解析:選B 根據(jù)柯西不等式,知y=1+2≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號.
5.設(shè)xy>0,則的最小值為________.
解析:原式=≥x+y2=9,當(dāng)且僅當(dāng)xy=時(shí)取等號.
答案:9
6.設(shè)a=(-2,1,2),|b|=6,則ab的最小值為________,此時(shí)b=________.
解析:根據(jù)柯西不等式的向量形式,有|ab|≤|a||b|,
∴|ab|≤6=18,
當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k,
使a=kb時(shí),等號成立.
∴-18≤ab≤18,
∴ab的最小值為-18,
此時(shí)b=-2a=(4,-2,-4).
答案:-18 (4,-2,-4)
7.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3x2+2y2≤6,則P=2x+y的最大值為________.
解析:由柯西不等式得
(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]=(3x2+2y2)≤6=11,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號,故P=2x+y的最大值為.
答案:
8.已知x,y∈R+,且x+y=2.求證:+≥2.
證明:+=(x+y)
=[ ()2+()2]
≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,此時(shí)x=1,y=1.
所以+≥2.
9.若x2+4y2=5,求x+y的最大值及此時(shí)x,y的值.
解:由柯西不等式得
[x2+(2y)2]≥(x+y)2,
即(x+y)2≤5=,x+y≤.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=4y時(shí)取等號.
由得或(舍去).
∴x+y的最大值為,
此時(shí)x=2,y=.
10.求函數(shù)f(x)=3cos x+4的最大值,并求出相應(yīng)的x的值.
解:設(shè)m=(3,4),n=(cos x,),
則f(x)=3cos x+4
=|mn|≤|m||n|
=
=5,
當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時(shí),上式取“=”.
此時(shí),3 -4cos x=0.
解得sin x=,cos x=.
故當(dāng)sin x=,cos x=時(shí).
f(x)=3cos x+4 取最大值5.