第1講 一元二次方程根的判別式現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用本專題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。【知識(shí)梳理】一元二次方程的根的判別式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【高效演練】1.關(guān)于的方程的根的情況描述正確的是（）A為任何實(shí)數(shù)，方程都沒有實(shí)數(shù)根B為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D根據(jù)的取值不同，方程根的情況分為沒有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種【解析】求出一元二次方程根的判別式的值，然后據(jù)此判別，從而得出答案：一元二次方程根的判別式為=（2k）24（k1）=4k24k+4=（2k1）2+30，不論k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。故選B。【答案】B2.若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A. k0 B. k0 C. k D. k【解析】由題意得，得，又，綜上則選A【答案】A3.下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）A方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D方程（其中a為常數(shù)，且）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 4.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A. B. 且 C. D. 且【解析】關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根， ，解得，且.故選B.【答案】B5.若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，則的值可以是（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【解析】把兩函數(shù)的解析式組成方程組，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程解答問題，求出k的取值范圍，找出符合條件的k的值即可：反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點(diǎn)，無(wú)解，即無(wú)解，整理得x2+2x-k=0，=4+4k0，解得k1。四個(gè)選項(xiàng)中只有-2-1，所以只有A符合條件。故選A?！敬鸢浮緼。6.如圖，直線=+2與雙曲線=在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，那么m的取值范圍在數(shù)軸上表示為【 】 【解析】因?yàn)橹本€=+2與雙曲線=在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩方程求出m的取值范圍即可，然后在數(shù)軸上表示出m的取值范圍：由+2=得2+2+3m=0，=+2與=有兩個(gè)交點(diǎn)，方程2+2+3m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根。即=44（3m）0，解得m2。又雙曲線在二、四象限，m30。m3。m的取值范圍為：2m3。故在數(shù)軸上表示為B。故選B?！敬鸢浮緽。7已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則的取之范圍為（ ）A. B. C. D. 【解析】根據(jù)題意得k20且（2k1）4（k2）0，解得：k且k2故選C【答案】C8.若關(guān)于x的方程(k1)x24x10有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()A. k5 B. k5且k1 C. k5且k1 D. k5【解析】 關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí)，方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程， 解得： 且綜上所述， . 故選D.【答案】D9.方程x2(m6)xm20有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1x2x1x2，則m的值是()A. 2或3 B. 3 C. 2 D. 3或2【答案】C10.方程ax2+x+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_。【解析】方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， ，解得且.【答案】a且a011.有七張正面分別標(biāo)有數(shù)字3，2，1，0，l，2，3的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機(jī)抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，則使關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且以x為自變量的二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的概率是 ?！窘馕觥坑袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，0。2（a1）24a（a3）0，a1。將（1，0）代入；得：a2+a2=0，解得a1=1，a2=2?？梢?，符合要求的點(diǎn)為0，2，3。P（符合要求）=。【答案】。12.二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為 【答案】313.已知關(guān)于的方程（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足,求實(shí)數(shù)k的值.【解析】分析：（1）根據(jù)方程有實(shí)根可得0，進(jìn)而可得-2（k-3）2-41（k2-4k-1）0，再解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1x2= k2-4k-1可計(jì)算出m的值解析：（1）x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有實(shí)數(shù)根，=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k0，解得：k5；（2）方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1+x2=2（k-3），x1x2= k2-4k-1x12+x22=x1x2+7，(x1+x2)2-3x1x2-7=0，k2-12k+32=0，解得：k1=4，k2=8又k5，k=4【答案】（1）k5；（2）4.14.已知a，b，c為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷這個(gè)三角形的形狀?！窘馕觥糠治觯喊逊匠袒癁橐话阈问娇傻茫?b+c)x2axb+c=0，由由b、c的實(shí)際意義可知b+c0，即原方程是關(guān)于的一元二次方程；由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得“=0”，列出關(guān)系式化簡(jiǎn)，由勾股定理逆定理可判斷該三角形為直角三角形.解析：方程化為一般形式可得：(b+c)x2axb+c=0，由b、c的實(shí)際意義可知：b+c0原方程是關(guān)于的一元二次方程，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, =(2a)4(b+c)(cb)=0整理,得：4a+4b4c=0，即a+bc=0，移項(xiàng),得：a2+b2=c2由直角三角形勾股定理逆定理可知：這個(gè)三角形是直角三角形.【答案】直角三角形