11.1命題的概念和例子讀教材填要點1命題的概念可以判斷成立或不成立的語句叫作命題2命題的分類(1)真命題：成立的命題叫作真命題(2)假命題：不成立的命題叫作假命題(3)猜想：暫時不知道真假的命題可以叫作猜想小問題大思維1如果一個語句是命題，它必須具備什么條件？提示：如果一個語句是命題，那么該語句所陳述的事情必須能夠判斷其成立或不成立2數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式等是否是命題？是真命題還是假命題？提示：數(shù)學(xué)中的定義、定理、公理、公式等都是命題，且都是真命題命題的概念 判斷下列語句是否是命題，并說明理由(1)求證是無理數(shù)；(2)若xR，則x24x50；(3)一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負(fù)數(shù)；(4)梯形是不是平面圖形呢？自主解答(1)是祈使句，不是命題；(2)可以判斷其是否成立，故為命題；(3)是命題，并且是假命題，因為一個數(shù)的算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)；(4)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題判斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵是看語句的格式，也就是要看它是否符合“可以判斷成立或不成立”這個條件，如果滿足這個條件，該語句就是命題，否則就不是1判斷下列語句是否為命題，并說明理由(1)若平行四邊形的邊都相等，則它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)對頂角相等嗎？(4)x>3.解：(1)能判斷其是否成立，是命題；(2)能判斷其是否成立，是命題；(3)是疑問句，不是命題； (4)不能判斷其是否成立，不是命題真假命題的判斷 判斷下列命題的真假，并說明理由(1)如果學(xué)好了數(shù)學(xué)，那么就會使用電腦；(2)若x3或x7，則(x3)(x7)0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)自主解答(1)是假命題，學(xué)好數(shù)學(xué)與會使用電腦不具有因果關(guān)系，因而無法推出結(jié)論，故為假命題(2)是真命題，x3或x7能得到(x3)(x7)0.(3)是真命題，由正方形的定義知正方形既是矩形又是菱形(4)是真命題，令a2k11，b2k21(k1，k2Z)，則ab2(2k1k2k1k2)1，顯然2k1k2k1k2是一個整數(shù)，故ab是奇數(shù)若將本例(4)中的“奇數(shù)”改為“無理數(shù)”，判斷該命題的真假解：當(dāng)a，b時，a，b都是無理數(shù)，但 ()5是有理數(shù)，故該命題為假命題判斷命題真假的策略(1)要判斷一個命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有事實依據(jù)，比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證(2)要判斷一個命題是假命題，只要舉一個反例即可2判斷下列命題的真假，并說明理由(1)形如ab的數(shù)是無理數(shù)；(2)一個等比數(shù)列的公比大于1時，該數(shù)列為遞增數(shù)列；(3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；(4)能被2整除的數(shù)一定能被4整除解：(1)假命題，反例：a是有理數(shù)且b0，則ab是有理數(shù)(2)假命題若數(shù)列an為等比數(shù)列，且a11，q2，則該數(shù)列為遞減數(shù)列(3)真命題根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知奇函數(shù)的圖象一定關(guān)于原點對稱(4)假命題反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除命題的綜合問題 試探究命題“方程ax2bx10有實數(shù)解”為真命題時，a，b滿足的條件自主解答方程ax2bx10有實數(shù)解，要考慮方程為一元一次方程和一元二次方程兩種情況：當(dāng)a0時，方程ax2bx10為bx10，只有當(dāng)b0時，方程有實數(shù)解x；當(dāng)a0時，方程ax2bx10為一元二次方程，方程有實數(shù)解的條件為b24a0.綜上知，當(dāng)a0，b0或a0，b24a0時，方程ax2bx10有實數(shù)解(1)并不是任何語句都是命題要判斷一個句子是否為命題，關(guān)鍵在于能否判斷其成立或不成立一般地，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題(2)一個命題要么是真的，要么是假的，二者必居其一3下面的命題中是真命題的是()Aysin2x的最小正周期為2B若方程ax2bxc0(a0)的兩根同號，則>0C如果MN，那么MNMD在ABC中，若>0，則B為銳角解析：選Bysin2x，T，故A為假命題；當(dāng)MN時，MNN，故C為假命題；在三角形ABC中，當(dāng)>0時，向量與的夾角為銳角，B應(yīng)為鈍角，故D為假命題故選B. 解題高手 妙解題 什么是智慧，智慧就是簡單、高效、不走彎路若命題“如果5x1>a，那么x>1”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍巧思“如果5x1>a，那么x>1”是真命題，則不等式5x1>a的解集是x>1的子集妙解由5x1>a，得x>(1a)命題“如果5x1>a那么x>1”是真命題，(1，)1，即a4.即a的取值范圍是4，)1“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思”這是唐代詩人王維的相思，這首詩中，在當(dāng)時條件下，可以作為命題的是()A紅豆生南國B春來發(fā)幾枝C愿君多采擷D此物最相思解析：“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不是命題，故選A.答案：A2下列命題中的真命題是()A互余的兩個角不相等B相等的兩個角是同位角C若a2b2，則|a|b|D三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內(nèi)角解析：由平面幾何知識可知A、B、D三項都是錯誤的答案：C3給出命題“方程x2ax10沒有實數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個值可以是()A4B2C0D3解析：方程無實根時，應(yīng)滿足a24<0.故a0時適合條件答案：C4設(shè)a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：(ab)c(ca)b；|a|b|<|ab|；(bc)a(ca)b不與c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2中，是真命題的有_(只填序號)解析：因為a，b，c相互不共線，所以(ab)c與(ca)b不一定相等又因為(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以為假命題，易證為真命題答案：5下列命題：yx23為偶函數(shù)；0不是自然數(shù)；xN|0x12是無限集；如果ab0，那么a0或b0.其中是真命題的是_(寫出所有真命題的序號)解析：為真命題，為假命題答案：6若命題p(x)：x22>3x為真命題，求x的取值范圍解：x22>3x，x23x2>0.解得x>2或x<1，x的取值范圍是(2，)(，1)一、選擇題1下列語句中是命題的是()A周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？Bsin 00C求x22x1>0的解集D作ABCEFG解析：A選項是疑問句，不是命題，C、D選項中的語句顯然不是答案：B2已知命題“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命題，那么下列命題中真命題的個數(shù)為()M中的元素都不是P的元素；M中有不屬于P的元素；M中有屬于P的元素；M中的元素不都是P的元素A1B2C3D4解析：錯誤；正確答案：B3下列命題中，為真命題的是()A對角線相等的四邊形是矩形B若一個球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則其體積變?yōu)樵瓉淼?倍C若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等D直線xy10與圓x2y21相切解析：等腰梯形對角形相等，不是矩形，故A中命題是假命題；由球的體積公式可知B中命題為真命題；C中命題為假命題，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均數(shù)相等，但標(biāo)準(zhǔn)差顯然不相等；圓x2y21的圓心(0,0)到直線xy10的距離d<1，故直線與圓相交，所以D中命題為假命題答案：B4給出下列命題：若直線l平面，直線m平面，則lm；若a，b都是正實數(shù)，則ab2；若x2>x，則x>1；函數(shù)yx3是指數(shù)函數(shù)其中假命題的個數(shù)為()A1B2C3D4解析：中，顯然lm或l與m重合，所以是假命題；由基本不等式，知是真命題；中，由x2>x，得x<0或x>1，所以是假命題；中，函數(shù)yx3是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)，所以是假命題故選C.答案：C二、填空題5下列語句：mx22x10是一元二次方程嗎？拋物線yax22x1與x軸至少有一個交點；互相包含的兩個集合相等；若m0，ab0，則.其中真命題的序號為_解析：不是命題；錯，可能沒交點；正確，若AB，BA，則AB；顯然正確，可以證明答案：6給出下列命題：方程x2x10有兩個實根；對于實數(shù)x，若x20，則x20；若p0，則p2p；正方形不是菱形其中真命題是_，假命題是_解析：假，因0；真；假，p時，p2p；假，正方形是菱形，也是矩形答案：7函數(shù)f(x)的定義域為A，若當(dāng)x1，x2A且f(x1)f(x2)時，總有x1x2，則稱f(x)為單函數(shù)例如，函數(shù)f(x)2x1(xR)是單函數(shù)下列命題：函數(shù)f(x)x2(xR)是單函數(shù)；指數(shù)函數(shù)f(x)2x(xR)是單函數(shù)；在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)其中的真命題是_(填序號)解析：由xx，未必有x1x2，故為假命題；對于f(x)2x，當(dāng)f(x1)f(x2)時一定有x1x2，故為真命題；當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)時，一定有“若f(x1)f(x2)，則x1x2”，故為真命題故真命題是.答案：8若命題“ax22ax3>0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：ax22ax3>0不成立，ax22ax30恒成立當(dāng)a0時，30恒成立；當(dāng)a0時，則有解得3a<0.綜上，3a0.答案：3,0三、解答題9判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由(1)一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)(2)大角所對的邊大于小角所對的邊(3)xy是有理數(shù)，則x，y也都是有理數(shù)(4)求證xR，方程x2x10無實根解：(1)是假命題，1不是合數(shù)，也不是質(zhì)數(shù)(2)是假命題，必須在同一個三角形或全等三角形中(3)是假命題，如x，y.(4)祈使句，不是命題10判斷命題：“若ab2，則直線xy0與圓(xa)2(yb)22相切”的真假解：由已知ab2，圓心(a，b)到直線xy0的距離dr，所以直線與圓相切，即命題為真.