專(zhuān)題06 基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、二次函數(shù)）【考點(diǎn)剖析】1.命題方向預(yù)測(cè)：1.指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)是近幾年高考的熱點(diǎn)2.通過(guò)具體問(wèn)題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，或利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)考查分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想3.高考考查的熱點(diǎn)是對(duì)數(shù)式的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想4.關(guān)于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體，考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題5.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是近幾年高考的熱點(diǎn)；用三個(gè)“二次”間的聯(lián)系解決問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)6.題型以選擇題和填空題為主，以分段函數(shù)形式，考查多個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，若與其他知識(shí)點(diǎn)交匯，則以解答題的形式出現(xiàn).2.課本結(jié)論總結(jié)：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0，m，nN*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 (a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1對(duì)數(shù)的概念如果axN(a>0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中_a_叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，_N_叫做真數(shù)2對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)alogaN_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)對(duì)數(shù)的重要公式換底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logablogbclogcdlogad.3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)與冪函數(shù)1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞減在x上單調(diào)遞增對(duì)稱(chēng)性函數(shù)的圖象關(guān)于x對(duì)稱(chēng)2.冪函數(shù)(1)定義：形如yx(R)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)(2)冪函數(shù)的圖象比較(3)冪函數(shù)的性質(zhì)比較特征 函數(shù)性質(zhì)yxyx2yx3yx1定義域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增x0，)時(shí)，增；x(，0時(shí)，減增增x(0，) 時(shí)，減；x(，0)時(shí)，減3.名師二級(jí)結(jié)論：（1）根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算（2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù)a按：0a1和a1進(jìn)行分類(lèi)討論（3）換元時(shí)注意換元后“新元”的范圍（4）對(duì)數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式可以互化，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則都可以通過(guò)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化進(jìn)行證明（5）解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍（6）對(duì)數(shù)值的大小比較方法化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數(shù)后利用圖象比較（7）函數(shù)yf(x)對(duì)稱(chēng)軸的判斷方法1、對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x對(duì)稱(chēng)2、對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)(a為常數(shù))4.考點(diǎn)交匯展示： (1)基本初等函數(shù)與集合交匯例1.【2017山東，理1】設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)?則（A）（1,2） （B） （C）（-2,1） （D）-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，選D.(2)基本初等函數(shù)與不等式交匯例1.【2017天津，理8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】 （當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，綜上故選A例2.【2018年浙江卷】已知R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】 (1,4) 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得.綜上，的取值范圍為.【考點(diǎn)分類(lèi)】考向一 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)1.【2018年全國(guó)卷理】設(shè)，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】，,即，又，即，故選B.2.【2017天津，理6】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）【答案】 3.【2017北京，理5】已知函數(shù)，則（A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)（C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【方法規(guī)律】1.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問(wèn)題歸納為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決2.對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的常用思路(1)先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3比較對(duì)數(shù)值大小時(shí)若底數(shù)相同，構(gòu)造相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性求解；若底數(shù)不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對(duì)數(shù)再比較4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題，一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的【解題技巧】1.圖像題要注意根據(jù)圖像的單調(diào)性和特殊點(diǎn)判斷2.指數(shù)形式的幾個(gè)數(shù)字比大小要注意構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)3判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問(wèn)題，可以先通過(guò)令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較4指數(shù)函數(shù)yax (a>0，a1)的性質(zhì)和a的取值有關(guān)，一定要分清a>1與0<a<1.5對(duì)和復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成【易錯(cuò)點(diǎn)睛】1. 求解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要注意“同增異減”的應(yīng)用2. 涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算是要首先考慮其定義域3.恒成立問(wèn)題一般與函數(shù)最值有關(guān)，要與方程有解區(qū)別開(kāi)來(lái)4.復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，一定要注意函數(shù)的定義域5.對(duì)可化為a2xbaxc0或a2xbaxc0 (0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.6.在運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無(wú)M0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N，且為偶數(shù))7.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值例1設(shè)a0且a1，函數(shù)f(x)alg(x22x3)有最大值，則不等式loga(x25x7)>0的解集為_(kāi)【答案】x|2x3【解析】函數(shù)ylg(x22x3)有最小值，f(x)alg(x22x3)有最大值，0a1.由loga(x25x7)>0，得0x25x71，解得2x3.不等式loga(x25x7)>0的解集為x|2x3【易錯(cuò)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中注意討論底數(shù)a的大小，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性往往也和a的取值有關(guān)考向二 冪函數(shù)、二次函數(shù)1.【2018屆廣東省茂名市高三五大聯(lián)盟學(xué)校9月聯(lián)考】已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是( )A. B. 0 C. D. 【答案】B2.【2018年理數(shù)天津卷】已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_.【答案】，原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得且同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】.【解析】分析：從函數(shù)形式上看，中的符號(hào)容易判斷，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，因此當(dāng)，在有解；當(dāng)時(shí)，在有解，故可求出的取值范圍所以，此不等式組無(wú)解綜上，的取值范圍為【方法規(guī)律】1.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸位置、閉區(qū)間三個(gè)要素有關(guān)；2.常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得最值.二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間可以相互轉(zhuǎn)化一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般從開(kāi)口方向；對(duì)稱(chēng)軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解3.冪函數(shù)yx的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查(1)的正負(fù)：>0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖象上升；<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一 象限的圖象下降，反之也成立(2)曲線在第一象限的凹凸性：>1時(shí)，曲線下凸；0<<1時(shí)，曲線上凸；<0時(shí)，曲線下凸4二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律：(1)在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般從：開(kāi)口方向；對(duì)稱(chēng)軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解5冪函數(shù)yx(R)圖象的特征>0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖象上升；<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降，反之也成立【解題技巧】1. 做二次函數(shù)類(lèi)型題是注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，畫(huà)出函數(shù)的草圖能幫助我們理清思路2. 二次函數(shù)中如果含有參數(shù)，往往要進(jìn)行分類(lèi)討論3.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況4.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).【易錯(cuò)點(diǎn)睛】1.注意冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別2.冪函數(shù)的增減與的關(guān)系3.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況【熱點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.【福建省閩侯第二中學(xué)、連江華僑中學(xué)等五校教學(xué)聯(lián)合體】設(shè)集合，則等于（ ）A B C D 【答案】B【解析】由題得.故答案為：B.2.【2018屆江西省新余市第四中學(xué)適應(yīng)性考】設(shè),則的大小順序是( )A B C D 【答案】D 3.下列函數(shù)中，在內(nèi)單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是（ ）AB CD【答案】C【解析】在內(nèi)單調(diào)遞增，并且是偶函數(shù)，所以不選A 在內(nèi)單調(diào)遞增，并且既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，所以不選B 在內(nèi)單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)，所以選C， 在內(nèi)單調(diào)遞增，并且既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，所以不選D4【2019屆河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)第一次大考】若x（，1），alnx，b，c，則A bca B cba C bac D abc【答案】A 5【2018屆北京市通州區(qū)高三上期中】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A B C D 【答案】B【解析】作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，由圖象可知， 與圖象有個(gè)交點(diǎn)故選 6.【2018屆安徽省淮南市二?！恳阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是( )A B C D 【答案】A【解析】函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（，0上單調(diào)遞增，f（x）在R上都是增函數(shù)，則不等式，等價(jià)為，即，則，即a即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：A. 7.【2018屆廣西欽州市第三次檢測(cè)】定義運(yùn)算：，則的最大值為（ ）A B C D 【答案】D【解析】 8.【2018屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)5月押題】定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，則（ ）A B C D 【答案】C【解析】f（x）為偶函數(shù)，f（x）=f（x）.，|xm|=|xm|，（xm）2=（xm）2，mx=0， m=0.f（x）=f（x）在0，+）上單調(diào)遞減，并且 , ,c=f（0）,0log21.51,故答案為：C.9.【2017山東，理10】已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）【答案】B 10.【2018屆廣東省汕頭市金山中學(xué)高三上期中】已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立,所以，又，所以，因此是增函數(shù)，故恒成立，所以，解得，綜上，故選B.11.【2018年高考第二次適應(yīng)與模擬】設(shè)函數(shù)，若，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)， 的最小值為_(kāi)【答案】10【解析】作出的圖象，如圖，由且得，即，其中，如圖圓，易知點(diǎn)在劣弧上，記，則表示點(diǎn)到射線上點(diǎn)的距離的平方，從圖中可知最小值為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，即12.【2018屆重慶市合川區(qū)5月模擬】已知函數(shù)，若f(m)>1，則m的取值范圍是_【答案】(，0)(2，) 13.【2018屆寧夏銀川市唐徠回民中學(xué)四模】已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，令，解得，所以只有一個(gè)解，則時(shí)，只有一個(gè)解，令，即在時(shí)，只有一個(gè)解，即函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)稱(chēng)軸為，且圖像開(kāi)口朝上，所以時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，即，解得：.14.已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1） 證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.