培優(yōu)點十六 利用空間向量求夾角1利用面面垂直建系例1：在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長為2的菱形，為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，（1）若，分別為，的中點，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連接，四邊形為菱形，平面平面，平面平面，平面，平面又平面，平面分別為，的中點，平面（2）設，由（1）得平面，由，得，過點作，與的延長線交于點，取的中點，連接，如圖所示，又，為等邊三角形，又平面平面，平面平面，平面，故平面為平行四邊形，平面又，平面，平面平面由（1），得平面，平面，平面，是與平面所成角，平面，平面，平面平面，解得在梯形中，易證，分別以，的正方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系則，由，及，得，設平面的一個法向量為，由得，令，得設平面的一個法向量為，由得，令，得，又二面角是鈍角，二面角的余弦值是2線段上的動點問題例2：如圖，在中，沿將翻折到的位置，使平面平面（1）求證：平面；（2）若在線段上有一點滿足，且二面角的大小為，求的值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）中，由余弦定理，可得，作于點，平面平面，平面平面，平面平面，又，平面又平面，又，平面（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點，以方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則，設，則由，設平面的一個法向量為，則由，取平面的一個法向量可取，3翻折類問題例3：如圖1，在邊長為2的正方形中，為中點，分別將，沿，所在直線折疊，使點與點重合于點，如圖2在三棱錐中，為中點（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求二面角的大小【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）在正方形中，為中點，在三棱錐中，平面平面，（2）取中點，連接，取中點，連接過點作的平行線平面，為的中點，如圖所示，建立空間直角坐標系，為的中點，平面，平面，平面平面平面平面，平面，平面平面的法向量設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為（3）由（2）知，設平面的法向量為，則有即，令，則，即由題知二面角為銳角，它的大小為對點增分集訓一、單選題1如圖，在所有棱長均為的直三棱柱中，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】設的中點，以，為，軸建立坐標系，則，則，設與成的角為，則，故選C2在三棱柱中，底面是邊長為1的正三角形，側棱底面，點在棱上，且，若與平面所成的角為，則的值是（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖，建立空間直角坐標系，易求點平面的一個法向量是，則故選D3如圖，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，則空間中兩條直線與所成的角為（ ）ABCD【答案】B【解析】取中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，可得，則，設空間兩條直線與所成的角為，即直線與所成的角為，故選B4已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面平面，是的中點，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由題可知，則，是的中點，設平面的法向量，直線與平面所成角為，則可取，故選D5如圖，在直三棱柱中，點與分別是和的中點，點與分別是和上的動點若，則線段長度的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，由于，故，當時，線段長度取得最小值，且最小值為故選A6如圖，點分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，平面的法向量為，設二面角的大小為，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可知，平面的一個法向量為：，由空間向量的結論可得：故選C7如圖所示，五面體中，正的邊長為1，平面，且設與平面所成的角為，若，則當取最大值時，平面與平面所成角的正切值為（ ）AB1CD【答案】C【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，取的中點，則，則平面的一個法向量為，由題意，又由，解得，的最大值為，當時，設平面的法向量為，則，取，由平面的法向量為，設平面和平面所成的角為，則，故選C8已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖，設在平面內的射影為，以為坐標原點，、分別為軸、軸建立空間直角坐標系如圖設邊長為1，則，又平面的法向量為設與底面所成角為，則故直線與底面所成角的正弦值為故選B9如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，點在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【解析】以為坐標原點，以、所在直線為、軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，取，得，平面的法向量為，平面與平面的夾角的余弦值為故選B10在正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】分別以，為，軸建立如圖所示空間直角坐標系：設正方體的棱長為1，可得，設是平面的一個法向量，即，取，得，平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，；，即直線與平面所成角的余弦值是故選C11已知四邊形，現(xiàn)將沿折起，使二面角的大小在內，則直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】取中點，連結，且，是二面角的平面角，以為原點，為軸，為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，設二面角的平面角為，則，連、，則，設、的夾角為，則，故，故選A12正方體中，點在上運動（包括端點），則與AD1所成角的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】以點為原點，、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，點坐標為，則，設、的夾角為，則，當時，取最大值，當時，取最小值，與所成角的取值范圍是故選D二、填空題13如圖，在直三棱柱中，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】【解析】在直三棱柱中，是的中點，以為原點，為軸，為軸，過作的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則，設異面直線與所成角為，則異面直線與所成角的余弦值為14已知四棱錐的底面是菱形，平面，且，點是棱的中點，在棱上，若，則直線與平面所成角的正弦值為_【答案】【解析】以點建立如圖所示的空間直角坐標系，設菱形的邊長為2，則， ，平面的一個法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為15設，是直線，是平面，向量在上，向量在上，則，所成二面角中較小的一個的余弦值為_【答案】【解析】由題意，向量在上，向量在上，所成二面角中較小的一個余弦值為，故答案為16在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，則當變化時，直線與平面所成角的取值范圍是_【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標系，得，設平面的法向量，得，又，則三、解答題17如圖所示：四棱錐，底面為四邊形，平面平面，（1）求證：平面；（2）若四邊形中，是否在上存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，請說明理由【答案】（1）見解析；（2）存在，【解析】（1）設，連接，為中點又，平面平面，平面平面平面，而平面在中，由余弦定理得，而平面（2）過作垂線記為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系：，設，設平面法向量為，取，設與平面所成角為，解，18如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）取的中點，連接，底面是邊長為2的正三角形，且，又，又，平面，又平面，平面平面（2）如圖所示，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，其中，則，設為平面的法向量，則，即，令，得；設為平面的法向量，則，即，令，得；，二面角的正弦值為