專題06 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、 考綱要求：1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.5.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,10，的對數(shù)函數(shù)的圖象6.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.7.了解指數(shù)函數(shù)ya(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)二、概念掌握和解題上注意點：1.指數(shù)函數(shù)圖象的畫法（判斷）及應(yīng)用方法(1）、畫（判斷）指數(shù)函數(shù)yaxa>0,a1的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：（(1，a)），(（0，1），.(2）、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象.2.)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.3.與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題類型與解題策略(1）、比較指數(shù)式的大?。耗芑赏讛?shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.(2）、解簡單的指數(shù)方程或不等式：可先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.(3）、探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)：與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性區(qū)間)、奇偶性、最值(值域等性質(zhì)的方法一致.4.利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類問題(1）、對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性區(qū)間、值域(最值、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(2）、一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.5.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)，要注意以下四點：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是如果需將函數(shù)解析式變形，一定確保其等價性；四是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，注意對數(shù)性質(zhì)的正用、逆用、變形用.三、高考考題題例分析例1.（2016全國課標I） 若,則（A） （B） （C） （D）【答案】C考點：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.例2. (2017天津，理6)已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】 【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ，又，則，所以即，所以，故選C【考點】 指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性例3.（2015湖南理2）設(shè)函數(shù)，則是（ ）A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B. 奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C. 偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D. 偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】A.【考點定位】函數(shù)的性質(zhì).本題主要考查了以對數(shù)函數(shù)為背景的單調(diào)性與奇偶性，屬于中檔題，首先根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定可知其為奇函數(shù)，判定時需首先考慮定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)的必要條件，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，即可求解.例4(2016浙江高考)已知ab1，若logablogba，abba，則a_，b_. 42解析：logablogbalogab，logab2或.ab1，logablogaa1，logab，ab2.abba，(b2)bb，b2bb，2bb2，b2，a4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)練習(xí)題（時間：100分鐘，滿分：120分）一、選擇題（每題5分，共60分）1函數(shù)f(x)2|x1|的大致圖象是() B解析：f(x)所以f(x)的圖象在1，)上為增函數(shù)，在(，1)上為減函數(shù) 2已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，則()AabcBacbCcabDbcaA解析：由0.20.6,0.41，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.20.40.6，即bc.因為a20.21，b0.40.21，所以ab.綜上，abc.3函數(shù)f(x)的定義域是()A(3,0)B(3,0C(，3)(0，)D(，3)(3,0)A解析：因為f(x)，所以要使函數(shù)f(x)有意義，需使即3x0.4已知f(x)3xb(2x4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1)，則f(x)的值域為()A9,81B3,9C1,9D1，) 5若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則使f(x)3成立的x的取值范圍為() A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)C解析：f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即，整理得(a1)(2x2x2)0，a1，f(x)3，即為3，當x0時，2x10，2x132x3，解得0x1；當x0時，2x10，2x132x3，無解x的取值范圍為(0,1)6若函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是()7已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)3xm(m為常數(shù))，則f(log35)的值為()A4B4C6D6B解析：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，即30m0，解得m1，f(log35)3log3514，f(log35)f(log35)4.8已知yloga(2ax)在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A(0,1)B(0,2)C(1,2)D2，)C解析:因為yloga(2ax)在0,1上單調(diào)遞減，u2ax(a0)在0,1上是減函數(shù)，所以ylogau是增函數(shù)，所以a1.又2a0，所以1a2.9已知函數(shù)f(x)(xa)(xb)(其中ab)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)axb的圖象是()C解析：由函數(shù)f(x)的圖象可知，1b0，a1，則g(x)axb為增函數(shù)，當x0時，g(0)1b0，故選C.10若函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A BC D11(2017北京高考)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg 30.48)A1033B1053C1073D1093D解析：由題意，lg lg lg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故與最接近的是1093.故選D.12設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2x)f(x)，且當x1時，f(x)ln x，則有()Aff(2)fBff(2)fCfff(2)Df(2)ffC解析：由f(2x)f(x)，得f(1x)f(x1)，即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x1，結(jié)合圖象，可知fff(0)f(2)，故選C.二、填空題（每題5分，共20分）13若函數(shù)y(a21)x在R上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_a或a解析：由y(a21)x在(，)上為增函數(shù)，得a211，解得a或a.14已知函數(shù)y4ax91(a0且a1)恒過定點A(m，n)，則logmn_.解析：由于函數(shù)yax(a0且a1)恒過定點(0,1)，故函數(shù)y4ax91(a0且a1)恒過定點(9,3)，所以m9，n3，所以logmnlog93.15.當x(，1時，不等式(m2m)4x2x0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_16.若loga1(a0，且a1)，則實數(shù)a的取值范圍是(1，)解析：當0a1時，logalogaa1，0a；當a1時，logalogaa1，a1.即實數(shù)a的取值范圍是(1，)三、解答題（每題10分，共40分）17已知函數(shù)f(x)，a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(1,2)(1)求a的值；(2)若g(x)4x2，且g(x)f(x)，求滿足條件的x的值18設(shè)f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由得x(1,3)，函數(shù)f(x)的定義域為(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，當x(1,1時，f(x)是增函數(shù)；當x(1,3)時，f(x)是減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在上的最大值是f(1)log242.19已知函數(shù)f(x)bax(其中a，b為常數(shù)，a0，且a1)的圖象經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表達式；(2)若不等式m0在x(，1時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. 14已知函數(shù)f(x)log2(a為常數(shù))是奇函數(shù)(1)求a的值與函數(shù)f(x)的定義域；(2)若當x(1，)時，f(x)log2(x1)m恒成立求實數(shù)m的取值范圍解(1)因為函數(shù)f(x)log2是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以log2log2，即log2log2，所以a1，令0，解得x1或x1，所以函數(shù)的定義域為x|x1或x1(2)f(x)log2(x1)log2(1x)，當x1時，x12，所以log2(1x)log221.因為x(1，)，f(x)log2(x1)m恒成立，所以m1，所以m的取值范圍是(，1