專題49 離心率及其范圍問題【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】縱觀近幾年的高考試題，高考對(duì)圓錐曲線 離心率問題是熱點(diǎn)之一.從命題的類型看，有小題，也有大題.一把說(shuō)來(lái)，小題大難度基本處于中低檔，而大題中則往往較為簡(jiǎn)單.小題中單純考查橢圓、雙曲線的離心率的確定較為簡(jiǎn)單，而將三種曲線結(jié)合考查，難度則大些.本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說(shuō)明離心率及其范圍問題的解法與技巧.1、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：（1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距.從而可求解（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通常可從以下幾個(gè)方面考慮：（1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求.如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可（3）通過(guò)一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：【經(jīng)典例題】例1.【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式e ；x/k*w 只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).例2.【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【答案】A【解析】例3.【2018屆山東省濟(jì)南省二?！吭O(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)不共線,若的周長(zhǎng)的最小值為,則橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A故選：A例4.【2018屆云南省昆明第一中學(xué)第八次月考】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線底面右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，平分，且，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D例5.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若MAN=60，則C的離心率為_.【答案】【解析】試題分析：例6.【2018屆重慶市江津中學(xué)校4月月考】如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為雙曲線的頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸的端點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若是銳角，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)B1PB2為與夾角，并分別表示出與，由B1PB2為鈍角，.0，得acb20，利用橢圓的性質(zhì)，可得到e2-e1>0，即可解得離心率的取值范圍詳解：如圖所示，B1PB2為與的夾角；設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，=（a，b），=（c，b），1e，故選：C點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，以雙曲線為載體，通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想雙曲線的離心率問題，主要是有兩類試題：一類是求解離心率的值，一類是求解離心率的范圍基本的解題思路是建立橢圓和雙曲線中的關(guān)系式，求值問題就是建立關(guān)于的等式，求取值范圍問題就是建立關(guān)于的不等式例7.已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值是（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】化簡(jiǎn)得：該式可變成：,故選點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)結(jié)合本題橢圓和雙曲線的定義給出與、的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求出與的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍.例8.【2018屆福建省漳州市5月測(cè)試】已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根據(jù)直線的方程判定該直線過(guò)定點(diǎn)，且該點(diǎn)是圓的圓心，再利用判定點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解詳解：將化為，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，且該點(diǎn)為圓的圓心，由，得是的中點(diǎn)，點(diǎn)睛：1.判定直線過(guò)定點(diǎn)的方法：法一：化為點(diǎn)斜式方程；法二：分別令，得，解得；法三：化為，則；2.在處理圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題時(shí)，利用點(diǎn)差法，可減少運(yùn)算量，提高解題速度例9.【2018屆河南省名校壓軸第二次考試】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A解得，所以，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選A例10.【2018屆河南省名校壓軸第二次考試】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為_【答案】【解析】分析：設(shè)出雙曲線的左焦點(diǎn)，令x=c，代入雙曲線的方程，解得A，B的坐標(biāo)，討論DAB為鈍角，可得0，或ADB為鈍角，可得0，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再由離心率公式和范圍，即可得到所求范圍詳解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F1（c，0），令x=c，可得y=，可得A（c，），B（c，），又設(shè)D（0，b），可得=（c，b），=（0，），=（c，b），由ABD為鈍角三角形，可能DAB為鈍角，可得0，化為c44a2c2+2a40，由e=，可得e44e2+20，又e1，可得e綜上可得，e的范圍為（1，）（+）故答案為：點(diǎn)睛：(1) 本題考查雙曲線的離心率的范圍及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力和分析推理運(yùn)算能力.（2）本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為鈍角三角形，這里是利用數(shù)量積0轉(zhuǎn)化的，比較簡(jiǎn)潔高效.【精選精練】1已知橢圓的半焦距為，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，拋物線與橢圓交于兩點(diǎn)，若四邊形是菱形，則橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C詳解：由題意得，橢圓，為半焦距），的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，則，拋物線于橢圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，可設(shè)，四邊形是菱形，則，將代入拋物線方程得，則不妨設(shè)，再代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，由，即有，解得或（舍去），故選C.2.【2018屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考（六）】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓上的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】A整理得，令，得，又由，得，所以，所以離心率的取值范圍是，故選A.3已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)作的垂線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別作、的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，若到直線的距離小于， 則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A為，到直線的距離小于，則，即，即，則雙曲線的離心率的取值范圍是，故選A.4【2018屆河南省鄭州市第三次預(yù)測(cè)】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在直線過(guò)點(diǎn)交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，使，則雙曲線離心率的取值范圍是_【答案】【解析】分析：先求出當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)的離心率，再求出當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)這一極端情況下的離心率，由此可得所求的范圍若直線平行于漸近線時(shí)，直線的斜率為，直線方程為，代入雙曲線方程可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，的斜率為，又此時(shí)有，整理得，解得但此時(shí)直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意雙曲線離心率的取值范圍是5【2018屆山東省煙臺(tái)市高考練習(xí)（二）】已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_.【答案】【解析】分析：由題意可知與拋物線相切時(shí)，取得最小值，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率詳解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)樵跈E圓上，且為橢圓的焦點(diǎn)，所以，解得或（舍去），所以，所以離心率為6已知， 是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)， 是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且為直角，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則的值為_【答案】2.故答案為：2.7【2018屆江西省上饒市三?！恳阎獌啥c(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線：上移動(dòng)，橢圓以，為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為_【答案】【解析】分析：作出直線y=x+2，過(guò)A作直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C，2a=|PA|+|PB|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由離心率公式即可得到詳解：由題意知c=1，離心率e=，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則c=1，對(duì)應(yīng)的離心率e有最大值故答案為：點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)和點(diǎn)線對(duì)稱問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的分析轉(zhuǎn)化能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是求a的最小值.本題求|PA|+|PB|的最小值，利用了對(duì)稱的思想.求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，直線l實(shí)際上是線段垂直平分線，根據(jù)垂直平分得到一個(gè)方程組，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).8【2018屆福建省三明市5月測(cè)試】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是右支上的一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率的取值范圍是_【答案】又即，得：方程有大于的根得，又故答案為：9如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率等于_.【答案】.則，解得或（舍去），黃金雙曲線”的離心率e等于點(diǎn)睛：本題考查類比推理和雙曲線離心率的求法，解題的關(guān)鍵是得到“黃金雙曲線”的特征，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后將這一特征轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，構(gòu)造出關(guān)于離心率的方程，解方程可得所求，解題時(shí)要注意雙曲線的離心率大于1這一條件10【2018屆5月第三次全國(guó)大聯(lián)考】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點(diǎn)設(shè)直線的斜率為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為_【答案】11【百校聯(lián)盟TOP202018屆高三四月聯(lián)考】已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得直線斜率的絕對(duì)值之和為1，則橢圓的離心率的取值范圍是_.【答案】【解析】分析：由是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，易知斜率之積為定值，結(jié)合均值不等式即可建立關(guān)于的不等式，從而得到橢圓的離心率的取值范圍.詳解：不妨設(shè)橢圓C的方程為,則，所以，,兩式相減得，所以，所以直線斜率的絕對(duì)值之和為，由題意得，所以=4，即，所以，所以.故答案為：.12【2018屆云南省曲靖市第一中學(xué)4月監(jiān)測(cè)卷（七）】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍是_【答案】則，即，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離不小于，所以，即，即，即，即橢圓離心率的取值范圍是點(diǎn)睛：（1）在處理涉及橢圓或雙曲線的點(diǎn)和焦點(diǎn)問題時(shí)，往往利用橢圓或雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可起到事半功倍的效果；（2）在求橢圓的離心率時(shí)，往往用到如下轉(zhuǎn)化：