空間中的平行與垂直 【2019年高考考綱解讀】 1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面平行和垂直的判定定理與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題. 2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系的交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中檔． 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常?？梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 4．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面，當(dāng)題目中有面面垂直的條件時(shí)，一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題型示例】 題型一　空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷 (1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題． (2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷． 【例1】[2018全國卷Ⅱ]在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 【解析】如圖(1)，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體A′B′BAA1′B1′B1A1. 連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得DB′＝＝， B′B1＝＝2， DB1＝＝. 在△DB′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝B′B1＋DB1－ 2B′B1DB1cos∠DB1B′， 即5＝4＋5－22cos∠DB1B′，∴ cos∠DB1B′＝. 故選C. 如圖(2)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 【答案】C 【方法技巧】判斷空間位置關(guān)系的兩種方法 (1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷． (2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定. 【變式探究】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6條直線與直線BA1是異面直線，故選C. 答案：C 【舉一反三】設(shè)l，m，n為三條不同的直線，α為一個(gè)平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①若l⊥α，則l與α相交；②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：對(duì)于①，若l⊥α，則l與α不可能平行，l也不可能在α內(nèi)，所以l與α相交，①正確；對(duì)于②，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則有可能是l?α，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若l∥m，m∥n，則l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，故④正確，選C. 答案：C 【變式探究】【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. (第15題) A D B C E F 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD， ，所以. 又因?yàn)槠矫鍭BC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC. 【變式探究】【2016高考江蘇卷】 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】證明：（1）在直三棱柱中， 在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn). 所以，于是 又因?yàn)镈E平面平面 所以直線DE//平面 （2）在直三棱柱中， 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以平面 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以 因?yàn)橹本€，所以 【舉一反三】已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 解析　對(duì)于A，α，β垂直于同一平面，α，β關(guān)系不確定，A錯(cuò)；對(duì)于B，m，n平行于同一平面，m，n關(guān)系不確定，可平行、相交、異面，故B錯(cuò)；對(duì)于C，α，β不平行，但α內(nèi)能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯(cuò)；對(duì)于D，若假設(shè)m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項(xiàng)，故D正確． 答案　D 【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AA′＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D，E分別是BC，A′B′的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面ACC′A′； (2)求二面角B′－AD－C′的余弦值． 【解析】(1)證明：取AC的中點(diǎn)F，連接DF，A′F， 則DF∥AB，又A′E∥AB， 所以DF∥A′E， 又因?yàn)镈F＝AB，A′E＝AB， 所以DF＝AE，所以四邊形DFA′E是平行四邊形， 所以ED∥A′F，又A′F?平面ACC′A′， 所以ED∥平面ACC′A′. (2)在平面ABC中，以過點(diǎn)A且垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 所以點(diǎn)A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(0,2,0)，B′(，－1,2)，C′(0,2,2)，D. 所以＝，＝(，－1,2)，＝(0,2,2)． 設(shè)平面B′AD的法向量為m＝(x，y，z)， 則由m＝0和m＝0，得 取m＝(1，－，－)． 同理，可取平面C′AD的法向量n＝(1，－，)． 設(shè)二面角B′－AD－C′的平面角為θ，易知0<θ<，則cos θ＝＝. 【變式探究】設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線，給出下列四個(gè)命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β. 其中正確命題的序號(hào)是________． 【解析】由線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理逐個(gè)判斷，真命題為②④. 【答案】②④ 【規(guī)律方法】這類題為高考?？碱}型，其實(shí)質(zhì)為多項(xiàng)選擇．主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選、多選、錯(cuò)選． 【變式探究】如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________． 解析　連接DN，作DN的中點(diǎn)O，連接MO，OC.在△AND中．M為AD的中點(diǎn)，則OM綉AN.所以異面直線AN，CM所成角為∠CMO，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，則AN＝2，∴OM＝.在△ACD中，同理可知CM＝2，在△BCD中，DN＝2，在Rt△ONC中，ON＝，CN＝1∴OC＝.在△CMO中，由余弦定理cos∠CMO＝＝＝. 答案　 【變式探究】(1)已知直線l，m與平面α，β，l?α，m?β，則下列命題中正確的是(　　) A．若l∥m，則必有α∥β B．若l⊥m，則必有α⊥β C．若l⊥β，則必有α⊥β D．若α⊥β，則必有m⊥α 答案　C 解析　對(duì)于選項(xiàng)A，平面α和平面β還有可能相交，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，平面α和平面β還有可能相交且不垂直或平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閘?α，l⊥β，所以α⊥β，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，直線m可能和平面α平行或相交，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤． (2)如圖，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是β內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D?直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)．下列判斷正確的是(　　) A．當(dāng)CD＝2AB時(shí)，M，N兩點(diǎn)不可能重合 B．M，N兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交 C．當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l相交 D．當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線MN可能與l平行 答案　B 解析　由于直線CD的兩個(gè)端點(diǎn)都可以動(dòng)，所以M，N兩點(diǎn)可能重合，此時(shí)兩條直線AB，CD共面，由于兩條線段互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形，因此AC∥BD，而BD?β，AC?B，所以由線面平行的判定定理可得AC∥β，又因?yàn)锳C?α，α∩β＝l，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得AC∥l，故選B. 【感悟提升】解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中． 【變式探究】(1)已知直線a，b，平面α，β，γ，下列命題正確的是(　　) A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γ B．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，則a∥b∥c C．若α∩β＝a，b∥a，則b∥α D．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，則b∥a 答案　A 解析　A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，則a⊥γ，該說法正確； B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c， 在三棱錐P－ABC中，令平面α，β，γ分別為平面PAB，PAC，PBC， 交線a，b，c為PA，PB，PC，不滿足a∥b∥c，該說法錯(cuò)誤； C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b?α，不滿足b∥α，該說法錯(cuò)誤； D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α， 正方體ABCD－A1B1C1D1中，取平面α，β為平面ABCD，ADD1A1， 直線b為A1C1，滿足b∥α，不滿足b∥a，該說法錯(cuò)誤． (2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是 A．l與l1，l2都相交 B．l與l1，l2都不相交 C．l至少與l1，l2中的一條相交 D．l至多與l1，l2中的一條相交 答案　C 解析　方法一　如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故D不正確，故選C. 方法二　因?yàn)閘分別與l1，l2共面，故l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，從而l1∥l2，與l1，l2是異面直線矛盾，故l至少與l1，l2中的一條相交，故選C. 題型二　空間平行、垂直關(guān)系的證明 空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化． 【例2】[2018北京卷]如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)． (1)求證：PE⊥BC； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD； (3)求證：EF∥平面PCD. 證明：(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)， 所以PE⊥AD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形， 所以BC∥AD.所以PE⊥BC. (2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形， 所以AB⊥AD. 又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 所以AB⊥PD. 又因?yàn)镻A⊥PD， 所以PD⊥平面PAB. 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG. 因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)， 所以FG∥BC，F(xiàn)G＝BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)， 所以DE∥BC，DE＝BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形． 所以EF∥DG. 又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 【方法技巧】 1．證明線線平行的4種常用方法 (1)利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行； (2)利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換； (3)利用三角形的中位線定理證線線平行； (4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換． 2．證明線線垂直的3種常用方法 (1)利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)； (2)勾股定理； (3)若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐M ACD的體積． (1)證明　∵AB∥DC，且AB?平面PCD，CD?平面PCD. ∴AB∥平面PCD. (2)證明　在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形ADCE為矩形 ∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45， ∴CE＝BE＝1，CB＝， ∴AD＝CE＝1，則AC＝＝， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC， 又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC (3)解　∵M(jìn)是PC中點(diǎn)， ∴M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半 VM ACD＝S△ACDPA＝＝. 【變式探究】(1)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，AA1⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，BC的中點(diǎn)． ①求證：直線BE∥平面A1FC1； ②平面A1FC1與直線AB交于點(diǎn)M，指出點(diǎn)M的位置，說明理由，并求三棱錐B－EFM的體積． ①證明　取A1C1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G， ∵點(diǎn)E為A1B1的中點(diǎn)， ∴EG∥B1C1 且EG＝B1C1， ∵F為BC中點(diǎn)， ∴BF∥B1C1且BF＝B1C1， 所以BF∥EG且BF＝EG. 所以四邊形BFGE是平行四邊形， 所以BE∥FG， 又BE?平面A1FC1，F(xiàn)G?平面A1FC1， 所以直線BE∥平面A1FC1. ②解　M為棱AB的中點(diǎn)． 理由如下： 因?yàn)锳C∥A1C1，AC?平面A1FC1，A1C1?平面A1FC1， 所以直線AC∥平面A1FC1， 又平面A1FC1∩平面ABC＝FM， 所以AC∥FM. 又F為棱BC的中點(diǎn)， 所以M為棱AB的中點(diǎn)． △BFM的面積S△BFM＝S△ABC ＝22sin 60＝， 所以三棱錐B－EFM的體積VB－EFM＝VE－BFM ＝2＝. (2)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60，PD＝2a，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)． ①證明：平面EAC⊥平面PBD； ②若PD∥平面EAC，三棱錐P－EAD的體積為18，求a的值． ①證明　因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， 所以PD⊥AC. 又四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD， 又PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD， 所以AC⊥平面PBD. 又AC?平面EAC， 所以平面EAC⊥平面PBD. ②解　連接OE. 因?yàn)镻D∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE， 所以PD∥OE. 又AC∩BD＝O， 所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，所以E是PB的中點(diǎn)． 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且∠BAD＝60， 所以取AD的中點(diǎn)H，連接BH， 可知BH⊥AD， 又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BH?平面ABCD， 所以PD⊥BH. 又PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD， 所以BH⊥平面PAD. 由于AB＝a，所以BH＝a. 因此點(diǎn)E到平面PAD的距離 d＝BH＝a＝a， 所以VP－EAD＝VE－PAD＝S△PADd＝a2aa＝a3＝18. 解得a＝6. 【感悟提升】垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證明線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換． (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 【變式探究】如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ADB＝90，CB＝CD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)． (1)若PB＝PD，求證：PC⊥BD； (2)求證：CE∥平面PAD. 證明　(1)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，PO， 因?yàn)镃D＝CB， 所以△CBD為等腰三角形， 所以BD⊥CO. 因?yàn)镻B＝PD， 所以△PBD為等腰三角形，所以BD⊥PO. 又PO∩CO＝O，PO，CO?平面PCO， 所以BD⊥平面PCO. 因?yàn)镻C?平面PCO，所以PC⊥BD. (2)由E為PB的中點(diǎn)，連接EO，則EO∥PD， 又EO?平面PAD，PD?平面PAD， 所以EO∥平面PAD. 由∠ADB＝90及BD⊥CO，可得CO∥AD， 又CO?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CO∥平面PAD. 又CO∩EO＝O，CO，EO?平面COE， 所以平面CEO∥平面PAD， 而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD. 題型三　平面圖形的翻折問題 1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖． 2．把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)． 3．準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空間幾何體的數(shù)字特征，這是準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)． 例3、[2018全國卷Ⅰ]如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA. (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q ABP的體積． 【解析】(1)證明：由已知可得，∠BAC＝90，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解：由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3. 又BP＝DQ＝DA， 所以BP＝2. 如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AC， 垂足為E，則QE綊DC. 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱錐Q ABP的體積為 VQ ABP＝S△ABPQE＝32sin 451＝1. 【方法技巧】 平面圖形翻折問題的求解方法 (1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口． (2)在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形. 【變式探究】如圖1，已知菱形AECD的對(duì)角線AC，DE交于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)．將△ADE沿線段DE折起到△PDE的位置，如圖2所示． (1)求證：DE⊥平面PCF； (2)求證：平面PBC⊥平面PCF； (3)在線段PD，BC上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M，N的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由． (1)證明　折疊前，因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形， 所以AC⊥DE， 所以折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF， 又PF∩CF＝F，PF，CF?平面PCF， 所以DE⊥平面PCF. (2)證明　因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形， 所以DC∥AE，DC＝AE. 又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)， 所以DC∥EB，DC＝EB， 所以四邊形DEBC為平行四邊形， 所以CB∥DE. 又由(1)得，DE⊥平面PCF， 所以CB⊥平面PCF. 因?yàn)镃B?平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PCF. (3)解　存在滿足條件的點(diǎn)M，N， 且M，N分別是PD和BC的中點(diǎn)． 如圖，分別取PD和BC的中點(diǎn)M，N. 連接EN，PN，MF，CM. 因?yàn)樗倪呅蜠EBC為平行四邊形， 所以EF∥CN，EF＝BC＝CN， 所以四邊形ENCF為平行四邊形， 所以FC∥EN. 在△PDE中，M，F(xiàn)分別為PD，DE的中點(diǎn)， 所以MF∥PE. 又EN，PE?平面PEN，PE∩EN＝E，MF，CF?平面CFM，MF∩CF＝F， 所以平面CFM∥平面PEN. 【感悟提升】(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口． (2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾則否定假設(shè)，否則給出肯定結(jié)論． 【變式探究】如圖，在△PBE中，AB⊥PE，D是AE的中點(diǎn)，C是線段BE上的一點(diǎn)，且AC＝，AB＝AP＝AE＝2，將△PBA沿AB折起使得二面角P－AB－E是直二面角． (1)求證：CD∥平面PAB； (2)求三棱錐E－PAC的體積． (1)證明　因?yàn)锳E＝2，所以AE＝4， 又AB＝2，AB⊥PE， 所以BE＝＝＝2， 又因?yàn)锳C＝＝BE， 所以AC是Rt△ABE的斜邊BE上的中線， 所以C是BE的中點(diǎn)， 又因?yàn)镈是AE的中點(diǎn)， 所以CD是Rt△ABE的中位線， 所以CD∥AB， 又因?yàn)镃D?平面PAB，AB?平面PAB， 所以CD∥平面PAB. 【變式探究】如圖1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E、F分別為CD、AB邊上的點(diǎn)，且DE＝3，BF＝4，將△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如圖2 所示)，連接AP、PF，其中PF＝2. (1)求證：PF⊥平面ABED； (2)求點(diǎn)A到平面PBE的距離． 解析：(1)證明：由翻折不變性可知PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF. 在題圖1中，利用勾股定理，得 EF＝＝， 在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2， ∴PF⊥EF. 又∵BF∩EF＝F，BF?平面ABED，EF?平面ABED， ∴PF⊥平面ABED. (2)由(1)知PF⊥平面ABED， ∴PF為三棱錐P－ABE的高． 設(shè)點(diǎn)A到平面PBE的距離為h， VA－PBE＝Vp－ABE， 即69h＝1262， ∴h＝， 即點(diǎn)A到平面PBE的距離為.