專題23 基本不等式及不等式應用一、 考綱要求：1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題二、概念掌握及解題上的注意點： 1.利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：(1)對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.(2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值. 2.求解含參數(shù)不等式的求解策略(1)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍.(2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化.三、高考考題題例分析： 例1.（2018天津卷） 已知a，bR，且a3b+6=0，則2a+的最小值為【答案】例2.（2018江蘇卷）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC=120，ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為【答案】9【解析】：由題意得acsin120=asin60+csin60，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=+52+5=4+5=9，當且僅當=，即c=2a時，取等號，故答案為：9例3.(2017山東卷)若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B例4.(2017天津卷)若，則的最小值為_.【答案】4 【解析】: ，（前一個等號成立條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時取得，則當且僅當時取等號）.例5.( 2017江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】:總費用，當且僅當，即時等號成立.例6.(2015高考陜西卷)設，若，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）A B C D【答案】C例7.( 2015高考四川卷)如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】:時，拋物線的對稱軸為.據(jù)題意，當時，即.由且得.當時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即.由且得，故應舍去.要使得取得最大值，應有.所以，所以最大值為18.選B.基本不等式練習一、選擇題1“x1”是“x2”的 ()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】:x2x0，所以“x1”是“x2”的充分不必要條件，故選A2設x0，y0，且xy18，則xy的最大值為 ()A80B77C81D82【答案】C【解析】:x0，y0，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.3已知f(x)x2(x0)，則f(x)有 ()A最大值0B最小值0C最大值4D最小值4【答案】C4若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于 ()A1B1C3D4【答案】C【解析】:當x>2時，x2>0，f(x)(x2)2224，當且僅當x2(x>2)，即x3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x3，即a3，選C5已知x，y0且x4y1，則的最小值為 ()A8B9C10D11【答案】B【解析】:x4y1(x，y0)，552549.6已知a0，b0，則的最小值為 ()AB1C2D4【答案】D7已知x1，y1，且lg x,2，lg y成等差數(shù)列，則xy有 ()A最小值20B最小值200C最大值20D最大值200【答案】B【解析】:由題意得22lg xlg ylg(xy)，所以xy10 000，則xy2200，當且僅當xy100時，等號成立，所以xy的有最小值200，故選B.8設a0，若關(guān)于x的不等式x5在(1，)上恒成立，則a的最小值為 () A16B9C4D2【答案】C【解析】:在(1，)上，x(x1)12121(當且僅當x1時取等號)，由題意知215.所以24，2，a4.9.要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是 ()A80元B120元C160元D240元【答案】C【解析】：設底面相鄰兩邊的邊長分別為x m，y m，總造價為T元，則xy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160(當且僅當xy時取等號)故該容器的最低總造價是160元10某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品 ()A60件B80件C100件 D120件【答案】B11.若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是 ()AaBaCaDa【答案】A【解析】:對任意x0，a恒成立，對x(0，)，amax，而對x(0，)，當且僅當x時等號成立，a.12正數(shù)a，b滿足1，若不等式abx24x18m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A3，)B(，3C(，6D6，)【答案】D二、填空題13正數(shù)a，b滿足abab3，則ab的取值范圍是_【答案】9，)【解析】:a，b是正數(shù)，abab323，ab230，(1)(3)0，1(舍去)或3.即ab9.14.已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數(shù)的最小值為_. 【答案】2【解析】:依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當且僅當x2y時取等號)，即的最大值為2.又，因此有2，即的最小值為2.15某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)，則每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是_萬元. 【答案】8【解析】:年平均利潤為x1818，x210，1818108，當且僅當x，即x5時，取等號16已知點P(a，b)在函數(shù)y上，且a1，b1，則aln b的最大值為_【答案】e【解析】:由點P(a，b)在函數(shù)y上，得abe2，則ln aln b2，又a1，b1，則ln a0，ln b0.令aln bt，t1，則ln tln aln b1，當且僅當abe時，取等號，所以1te，所以aln b的最大值為e. 三、解答題17(1)當x<時，求函數(shù)yx的最大值；(2)設0<x<2，求函數(shù)y的最大值【答案】(1) ， (2) (2)0<x<2，2x>0，y，當且僅當x2x，即x1時取等號，當x1時，函數(shù)y的最大值為.18已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值【答案】(1) 64， (2)18【解析】:(1)由2x8yxy0，得1，又x>0，y>0，則12 ，得xy64，當且僅當x16且y4時，等號成立所以xy的最小值為64.19經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，第t天(1t30，tN*)的旅游人數(shù)f(t)(萬人)近似地滿足f(t)4，而人均消費g(t)(元)近似地滿足g(t)120|t20|.(1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬元)與時間t(1t30，tN*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該城市旅游日收益的最小值. 【答案】(1) W(t) (2) W(t)的最小值為441萬元【解析】:(1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)(2)當t1,20時，4014t4012441(t5時取最小值)當t(20,30時，因為W(t)5594t遞減，所以t30時，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30時，W(t)的最小值為441萬元