基礎(chǔ)送分專題二平面向量平面向量的基本運算題組練透1(2018全國卷)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則()A. B.C. D.解析：選A法一：作出示意圖如圖所示 ()().故選A.法二：不妨設(shè)ABC為等腰直角三角形，且A，ABAC1.建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故(1,0)，(0,1)，(1,0)，即.2已知平面內(nèi)不共線的四點O，A，B，C滿足，則|()A13 B31C12 D21解析：選D由，得2()，即2，所以|21，故選D.3(2018全國卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則 _.解析：2ab(4,2)，因為c(2ab)，所以42，解得.答案：4(2018太原模擬)在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若，則實數(shù)_.解析：如圖， 由得，.答案：題后悟通快審題1.看到向量的線性運算，想到三角形和平行四邊形法則2.看到向量平行，想到向量平行的條件準解題記牢向量共線問題的4個結(jié)論(1)若a與b不共線且ab，則0.(2)直線的向量式參數(shù)方程：A，P，B三點共線(1t) t (O為平面內(nèi)任一點，tR).(3) (，為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則1.(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y1，當且僅當x2y20時，ab.平面向量的數(shù)量積題組練透1(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)()A4 B3C2 D0解析：選Ba(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.2已知向量m(t1,1)，n(t2,2)，若(mn)(mn)，則t()A0 B3C3 D1解析：選B法一：由(mn)(mn)可得(mn)(mn)0，即m2n2，故(t1)21(t2)24，解得t3.法二：mn(2t3,3)，mn(1，1)，(mn)(mn)，(2t3)30，解得t3.3在ABC中，ABC90，AB6，點D在邊AC上，且2，則的值是()A48 B24C12 D6解析：選B法一：由題意得，0，()|236，()03624.法二：(特例法)若ABC為等腰直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(6,0)，C(0,6)由2，得D(4,2)(6,0)(4,2)24.4.(2018貴陽摸底考試)如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住，找出D點的位置，則的值為()A10 B11C12 D13解析：選B以點A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，可以得到D(2,3)，所以(4,1)(2,3)8311.故選B.5(2019屆高三益陽、湘潭調(diào)研)已知非零向量a，b滿足ab0，|ab|t|a|，若ab與ab的夾角為，則t的值為_解析：因為ab0，所以(ab)2(ab)2，即|ab|ab|.又|ab|t|a|，所以|ab|ab|t|a|.因為ab與ab的夾角為，所以cos，整理得，即(2t2)|a|22|b|2.又|ab|t|a|，平方得|a|2|b|2t2|a|2，所以|a|2t2|a|2，解得t2.因為t>0，所以t.答案：6在矩形ABCD中，AB2，AD1.邊DC上的動點P(包含點D，C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足|，則的最小值為_解析：以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)P(x,1)，Q(2，y)，由題意知0x2，2y0.|，|x|y|，xy.(x，1)，(2x，y1)，x(2x)(y1)x22xy1x2x12，當x時，取得最小值，為.答案：題后悟通快審題1.看到向量垂直，想到其數(shù)量積為零2.看到向量的模與夾角，想到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)和公式3.看到向量中的最值問題時，想到向量不等式、幾何意義，甚至建立坐標系構(gòu)造函數(shù)關(guān)系求最值用妙法特例法妙解圖形中平面向量數(shù)量積問題解答有關(guān)圖形中的平面向量數(shù)量積問題，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐標系，求得相關(guān)點坐標計算求解(如第3題可取ABC為等腰直角三角形建系)避誤區(qū)兩個向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線. 一、選擇題1設(shè)a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，則實數(shù)k的值等于()ABC. D.解析：選A因為cakb(1k,2k)，又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.2已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，則向量a，b的夾角的余弦值為()A. BC. D解析：選C因為向量a(1,1)，2ab(4,2)，所以b(2,0)，則向量a，b的夾角的余弦值為.3已知在平面直角坐標系中，點A(0,1)，向量(4，3)，(7，4)，則點C的坐標為()A(11,8) B(3,2)C(11，6) D(3,0)解析：選C設(shè)C(x，y)，在平面直角坐標系中，點A(0,1)，向量(4，3)，(7，4)，(11，7)，解得x11，y6，故C(11，6)4在等腰梯形ABCD中，2，M為BC的中點，則()A. B.C. D.解析：選B因為2，所以2.又M是BC的中點，所以()().5(2019屆高三武漢調(diào)研)設(shè)非零向量a，b滿足|2ab|2ab|，則()Aab B|2a|b|Cab D|a|<|b|解析：選A法一：|2ab|2ab|，(2ab)2(2ab)2，化簡得ab0， ab，故選A.法二：記c2a，則由|2ab|2ab|得|cb|cb|，由平行四邊形法則知，以向量c，b為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，該四邊形為矩形，故cb，即ab，故選A.6已知(2,1)，點C(1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為()A B3C. D3解析：選C因為點C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影為|cos，.7已知a和b是非零向量，matb(tR)，若|a|1，|b|2，當且僅當t時，|m|取得最小值，則向量a，b的夾角為()A. B.C. D.解析：選C由matb，及|a|1，|b|2，得|m|2(atb)24t24tcos 1(2tcos )2sin2，由題意得，當t時，cos ，則向量a，b的夾角為，故選C.8在ABC中，|，AB2，AC1，E，F(xiàn)為BC的三等分點，則()A. B.C. D.解析：選B由|知，以A為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨設(shè)E，F(xiàn)，則.9已知在平面直角坐標系xOy中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三點共線且向量與向量a(1，1)共線，若(1) ，則()A3 B3C1 D1解析：選D設(shè)(x，y)，則由a，知xy0，于是(x，x)若(1)，則有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即所以41320，解得1.10(2018蘭州診斷考試)在ABC中，M是BC的中點，AM1，點P在AM上且滿足2，則()等于()A BC. D.解析：選A如圖，2，()2，AM1且2，|，().11(2019屆高三南寧摸底聯(lián)考)已知O是ABC內(nèi)一點，0，2且BAC60，則OBC的面積為()A. B.C. D.解析：選A0，O是ABC的重心，于是SOBCSABC.2，|cosBAC2，BAC60，|4.SABC|sinBAC，OBC的面積為.12(2018南昌調(diào)研)已知A，B，C是圓O：x2y21上的動點，且ACBC，若點M的坐標是(1,1)，則|的最大值為()A3 B4C31 D31解析：選D法一：A，B，C是圓O：x2y21上的動點，且ACBC，設(shè)A(cos ，sin )，B(cos ，sin )，C(cos ，sin )，其中0<2，0<2，M(1,1)，(cos 1，sin 1)(cos 1，sin 1)(cos 1，sin 1)(cos 3，sin 3)，| ，當且僅當sin1時，|取得最大值，最大值為31.法二：連接AB，ACBC，AB為圓O的直徑，2，|2|2|2|，易知點M與圓上動點C的距離的最大值為1，|1，|31，故選D.二、填空題13(2018濰坊統(tǒng)一考試)已知單位向量e1，e2，且e1，e2，若向量ae12e2，則|a|_.解析：因為|e1|e2|1，e1，e2，所以|a|2|e12e2|214|e1|e2|cos4141143，即|a|.答案：14已知a，b是非零向量，f(x)(axb)(bxa)的圖象是一條直線，|ab|2，|a|1，則f(x)_.解析：由f(x)abx2(a2b2)xab的圖象是一條直線，可得ab0.因為|ab|2，所以a2b24.因為|a|1，所以a21，b23，所以f(x)2x.答案：2x15在ABC中，N是AC邊上一點且，P是BN上一點，若m，則實數(shù)m的值是_解析：如圖，因為，所以，所以mm.因為B，P，N三點共線，所以m1，則m.答案：16(2019屆高三唐山五校聯(lián)考)在ABC中，(3)，則角A的最大值為_解析：因為(3)，所以(3)0，即(3)()0，則24320，即cos A2，當且僅當|時等號成立因為0<A<，所以0<A，即角A的最大值為.答案：