專題跟蹤檢測（十二） 直線與圓一、全練保分考法保大分1過點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A2xy50B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析：選B過點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，點(diǎn)(3,1)在圓(x1)2y2r2上，圓心與切點(diǎn)連線的斜率k，切線的斜率為2，則圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.2圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的負(fù)半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x2)2(y)28B(x)2(y2)28C(x2)2(y)28D(x)2(y2)28解析：選A法一：設(shè)圓心為(r>0)，半徑為r.由勾股定理()22r2，解得r2，圓心為(2，)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y)28.法二：四個(gè)圓的圓心分別為(2，)，(，2)，(2，)，(，2)，將它們逐一代入x2y0，只有A選項(xiàng)滿足3已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2.則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交C外切 D相離解析：選B由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑Ra，因?yàn)閳AM截直線xy0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線xy0的距離d(a>0)，解得a2，即圓M的圓心為(0,2)，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r1，所以|MN|，則Rr<<Rr，所以兩圓的位置關(guān)系為相交4已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)則|CD|()A2 B4C6 D4解析：選D法一：因?yàn)閳A心(0,0)到直線xy60的距離d3，所以|AB|22，過C作CEBD于E，因?yàn)橹本€l的傾斜角為30，所以|CD|4.法二：由xy60與x2y212聯(lián)立解得A(3，)，B(0,2)，AC的方程為y(x3)，BD的方程為y2x，可得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.5已知A(0,3)，B，P為圓C：x2y22x上的任意一點(diǎn)，則ABP面積的最大值為()A. B.C2 D.解析：選A圓C的方程可化為(x1)2y21，因?yàn)锳(0，3)，B，所以|AB|3，直線AB的方程為xy3，所以圓心(1,0)到直線AB的距離d.又圓C的半徑為1，所以圓C上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為1，故ABP面積的最大值為Smax(1)3.6已知等邊三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y22x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的外接圓(點(diǎn)C為圓心)，則圓C的方程為()A(x4)2y216 B(x4)2y216Cx2(y4)216 Dx2(y4)216解析：選A法一：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知 ，解得yy12，所以A(6,2)，B(6，2)或A(6，2)，B(6,2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r,0)(r>0)，則r64，所以圓C的方程為(x4)2y216.法二：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由題設(shè)知xyxy.又y2x1，y2x2，故x2x1x2x2，即(x1x2)(x1x22)0，由x1>0，x2>0，可知x1x2，故A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(r,0)(r>0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是22r，解得r4，所以圓C的方程為(x4)2y216.7設(shè)M，N分別為圓O1：x2y212y340和圓O2：(x2)2y24上的動點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是_解析：圓O1的方程可化為x2(y6)22，其圓心為O1(0,6)，半徑r1.圓O2的圓心O2(2,0)，半徑r22，則|O1O2|2，則|MN|max22，|MN|min22，故M，N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是22，22答案：22，228過點(diǎn)P(3,1)，Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2y21相切，則a的值為_解析：點(diǎn)P(3,1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為P(3，1)，所以直線PQ的方程為x(a3)ya0，由題意得直線PQ與圓x2y21相切，所以1，解得a.答案：9已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為xym0，圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，則由題意知22(a1)2，解得a3或1(舍去)，故圓心坐標(biāo)為(3,0)，因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上，所以30m0，解得m3，故所求的直線方程為xy30.答案：xy3010(2018全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.11(2018成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線：yx2mx2m(mR)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線與y軸交于點(diǎn)C.(1)是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由(2)求證：過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)解：由曲線：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則可得m28m>0，解得m>8或m<0，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0,2m)(1)若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，則0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0(舍去)或m.所以m，此時(shí)C(0，1)，AB的中點(diǎn)M即圓心，半徑r|CM|，故所求圓的方程為2y2.(2)證明：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2y2mxEy2m0，將點(diǎn)C(0,2m)代入可得E12m，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2y2mx(12m)y2m0，整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)(0,1)和.12(2019屆高三廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過點(diǎn)M(1，)，N(1，)(1)求圓C的方程；(2)已知直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積為2.求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)因?yàn)閳AC過點(diǎn)M(1，)，N(1，)，所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在x軸上，故設(shè)圓心為C(a,0)，易知a>0，又圓C與y軸相切，所以圓C的半徑ra，所以圓C的方程為(xa)2y2a2.因?yàn)辄c(diǎn)M(1，)在圓C上，所以(1a)2()2a2，解得a2.所以圓C的方程為(x2)2y24.(2)證明：記直線OA的斜率為k(k0)，則其方程為ykx.聯(lián)立消去y，得(k21)x24x0，解得x10，x2.所以A.由kkOB2，得kOB，直線OB的方程為yx，在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用代換k，得B.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得k22，此時(shí)直線l的方程為x.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即k22，則直線l的斜率為.故直線l的方程為y，即y，所以直線l過定點(diǎn).綜上，直線l恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.二、強(qiáng)化壓軸考法拉開分1已知圓C：x2y21，點(diǎn)P(x0，y0)在直線l：3x2y40上，若在圓C上總存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使，則x0的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C如圖，OP與AB互相垂直平分，圓心到直線AB的距離<1，xy<4.又3x02y040，y02x0，代入得x2<4，解得0<x0<.實(shí)數(shù)x0的取值范圍是.2已知直線yxm和圓x2y21交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為()A1 BC D解析：選C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x1，y1)，(x2x1，y2y1)，由消去y，整理得，2x22mxm210，故4m28(m21)84m2>0，<m<，x1x2m，x1x2，y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m2，又x1x2y1y2xy，故x1x2y1y2，故2x1x2m(x1x2)m2，即m21m2m2，得m2，m.3(2018荊州模擬)過點(diǎn)A(1，)的直線l將圓C：(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率為_解析：易知點(diǎn)A(1，)在圓(x2)2y24的內(nèi)部，圓心C的坐標(biāo)為(2,0)，要使劣弧所對的圓心角最小，只能是直線lCA，所以kl.答案：4已知圓O：x2y21與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，P為直線3x4ya0上一點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為T，若|PA|2|PT|，則實(shí)數(shù)a的最大值為_解析：由題意知A(1,0)，設(shè)P(x，y)，由|PA|2|PT|可得(x1)2y24(x2y21)，化簡得2y2.由3x4ya0與圓2y2有公共點(diǎn)P，所以圓心到直線3x4ya0的距離d，解得a，所以實(shí)數(shù)a的最大值為.答案：5已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4)21.若圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得APB60，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：圓O的半徑為1，圓M上存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，使得APB60，則APO30.在RtPAO中，|PO|2，又圓M的半徑為1，圓心坐標(biāo)為M(a，a4)，|MO|1|PO|MO|1，|MO|， 12 1，解得2a2.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案：6(2018廣州高中綜合測試)已知定點(diǎn)M(1,0)和N(2,0)，動點(diǎn)P滿足|PN|PM|.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當(dāng)k1k23時(shí)，求k的取值范圍解：(1)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镸(1,0)，N(2,0)，|PN|PM|，所以 .整理得，x2y22.所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2y22.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxB.由消去y，整理得(1k2)x22bkxb220.(*)由(2bk)24(1k2)(b22)>0，得b2<22k2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.由k1k23，得(kx1b)(kx2b)3x1x2，即(k23)x1x2bk(x1x2)b20.將代入，整理得b23k2.由得b23k20，解得k.由和，解得k<或k>.要使k1，k2，k有意義，則x10，x20，所以0不是方程(*)的根，所以b220，即k1且k1.由，得k的取值范圍為，1)(1，