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第2課時 集合間的基本關系 【雙向目標】 課程目標 學科素養(yǎng) A了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集. B理解子集.真子集的概念 C.能使用圖表達集合間的關系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用. a數學抽象：對集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解 b邏輯推理：集合的子集的辨析與應用 c數學運算：對給出的集合會計算子集與真子集 d直觀想象：利用圖表示集合相等以及集合間的關系 e數學建模：通過觀察身邊的實例，發(fā)現集合間的基本關系，體驗其現實意義 【課標知識】 知識提煉 基礎過關 知識1：子集有關的概念 （1）定義:對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,我們就說這兩個集合有包含關系,稱集合A為集合B的子集. （2）記法:(或),讀作“A包含與B”(或“B包含A”). （3）韋恩圖表示，圖1所示: 知識2：集合相等 （1）定義:如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此時,集合A與集合B中的元素是一樣的,因此,集合A與集合B相等. （2）記法:A=B. （3）韋恩圖表示，圖2所示: 知識3：真子集有關的概念 （1） 定義:如果集合,但存在元 素x∈B,且x?A，我們稱集合A是集合B的真子集. （2）記法:(或). （3）韋恩圖表示，圖3所示: 知識4：空集有關的概念 （1）定義:不含任何元素的集合叫做空集. （2）記法:. （3）規(guī)定：空集是任何集合的子集 知識5：集合間關系具有的性質 （1）規(guī)定:空集是任何集合的子集. （2）任何一個集合是它本身的子集,即A?A. （3）對于集合A,B,C,若A?B,且B?C,則A?C. （4）對于集合A,B,C,若A B,且B C,則AC. （5）A?B,且A≠B,則AB. 1.已知集合A={1,2,3},試寫出A的所有子集 2.同時滿足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，則6－a∈M的非空集合M有( ) A．6個 B．7個 C．15個 D．16個 3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}， 若集合A有且僅有2個子集，則a的取值 是( ) A．1 B．－1 C．0,1 D．－1,0,1 4.設集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},則集合A,B間的關系為( ) A.A=B B.A?B C.B?A D.以上都不對 5.，，若，則的取值集合為（ ） A. B.[Z C. D. 6.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求實數a的取值范圍. 7.下列說法： ①空集沒有子集； ②任何集合至少有兩個子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若A，則A≠， 其中正確的個數是( ) A．0 B．1　 　C．2　 D．3 8.下列關系正確的是( ) A.3∈{y|y=x2+π,x∈R} B.{(a,b)}={(b,a)} C.{(x,y)|x2-y2=1}{(x,y)|(x2-y2)2=1} D.{x∈R|x2-2=0}= 基礎過關參考答案： 3.【解析】因為集合A有且僅有2個子集，所以A僅有一個元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈)僅有一個根或兩個相等的根． (1)當a＝0時,方程為2x＝0，此時A＝{0}，符合題意． (2)當a≠0時，由Δ＝22－4aa＝0，即a2＝1， ∴a＝1. 此時A＝{－1}或A＝{1}，符合題意． ∴a＝0或a＝1. 4.【解析】選A.因為A,B中的元素顯然都是奇數,所以A,B都是由所有奇數構成的集合.故A=B 5. 【解析】 （1） （2） （3） ∴ 的取值集合為 【能力素養(yǎng)】 探究一 子集與真子集的求法 例1：寫出集合{a，b，c}的所有不同的子集 【分析】根據子集的含義進行求解 【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為{a}，，{c}，含有2個元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3個元素的子集為{a，b，c}，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集. 【點評】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數的多少來分別寫出.當元素個數相同時，應依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身. 【變式訓練】 1. 已知，則這樣的集合有 個. 【解析】集合A可以為{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e} 【答案】7個 2.已知集合A={1，2，3}，平面內以（x，y）為坐標的點集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B的子集個數為（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面內以（x，y）為坐標的點集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}， ∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集個數為：23=8個． 【答案】D 探究二 集合間的關系 例2. 集合，集合，那么間的關系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不對 【分析】根據集合間的關系進行判斷. 【點評】判斷兩個集合間的關系的關鍵在于：弄清兩個集合的元素的構成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數形集合表示）. 【變式訓練】 1.若集合，則（ ）. A. B. C. = D. 【解析】因為A,B中的元素顯然都是奇數,所以A,B都是由所有奇數構成的集合.故A=B 【答案】C 2.設M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，則M與N滿足( ) A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N 【解析】 當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數的平方加1對應的整數，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數的平方加1對應的整數，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B. 【答案】B 探究三 集合間關系具有的性質 例3：已知若M=N， 則= ． A．－200 B．200 C．－100 D．0 【分析】解答本題應從集合的概念、表示及關系入手，本題應側重考慮集合中元素的互異性． 由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1 若|x|=0即x=0，以上討論知不成立 若|x|=1即x=1 當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故 x≠1 當x=-1時，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合題意，綜上可知，x=y=-1 =-2+2-2+2+…+2=0 【答案】0 【點評】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點． 【變式訓練】 1．設a，bR，集合，則b-a=( ) 【答案】2 2．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？ 【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素為x，故集合A表示的是函數y=x2+1中自變量x的取值范圍，即函數的定義域A=； 集合B={y|y=x2+1}的代表元素為y，故集合B表示的是函數y=x2+1中函數值y的取值范圍，即函數的值域B=； 集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素為點（x，y），故集合C表示的是拋物線y=x2+1上的所有點組成的集合； 集合D={y=x2+1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個元素：方程y=x2+1． 【答案】都不相同 【課時作業(yè)】 課標 素養(yǎng) 數學 抽象 邏輯 推理 數學 運算 直觀 想象 數學 建模 數據 分析 A 3,10 8 B 9 2,5,7,11 3,4,6,12,13,14,15 C 1 一、選擇題 1.已知全集，則正確表示集合和關系的韋恩（Venn）圖是 （ ） 2.已知集合，，則滿足條件的集合C的個數為 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.設M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，則M與N滿足( ) A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N 4.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，則有( ) A．1?A B．0?A C．??A D．{0}?A 5.集合的所有真子集個數為( )． A．3 B． 7 C．15 D．31 6.同時滿足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，則6－a∈M的非空集合M有( ) A．6個 B．7個 C．15個 D．16個 7.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，則a的值是( ) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0,1或－1 8.設，，若則的取值范圍是（ ） A B C D. 9.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 10.用適當的符號填空： （1） ；（2） ；（3） . 11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若BA，則實數m＝________. 12.設A是非空集合，對于k∈A，如果，那么稱集合A為“和諧集”，在集合的所有非空子集中，是和諧集的集合的個數為 13.已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}． (1)若B?A，求a的取值范圍； (2)若A?B，求a的取值范圍． 14.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且NM，求實數a的值． 15.已知全集,集合R， ；若時，存在集合M使得，求出這樣的集合M； 1.【解析】由，得，則,選B． 【答案】B 【答案】D 3.【解析】當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數的平方加1對應的整數，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數的平方加1對應的整數，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B. 【答案】B 4.【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以選項A，B，D都錯誤，因為?是任何非空集合的真子集，所以C正確． 【答案】C 5.【解析】，所以，真子集的個數為15個 【答案】C 6.【解析】a＝3時，6－a＝3；a＝1時，6－a＝5； a＝2時，6－a＝4；a＝4時，6－a＝2；a＝5時，6－a＝1， ∴非空集合M可能是：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}共7個．.故選B 【答案】B 【答案】5 10.【解析】（1） ；（2） ；（3） . 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 11.【解析】，即，當時，，滿足 【答案】1 12.【解析】由和諧集的定義知，該集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和諧集的集合的個數為15個 【答案】15 13.【解析】(1)因為B?A，B是A的子集，由圖(1)得a≤3. (1) (2)因為A?B，A是B的子集，由圖 (2)得a≥3. (2) 【答案】（1）a≤3（2）a≥3 14.【解析】由得或，因此 若a=2時，則，此時 若a=-3時，則，此時 若，則，此時N不是M的子集