專題17 數(shù)列的概念及表示一、考綱要求:1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2)相鄰項(xiàng)的變化特征.(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征.(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.2.若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來(lái).對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來(lái)調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性.3.已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替換Sn中的n得出Sn1，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式.(3)看a1是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式. 4.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法（1）已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.（2）已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.（3）已知a1，且an1qanb，則an1kq(ank)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為ank為等比數(shù)列.三、高考考題題例分析： 例1.(2015廣東卷節(jié)選)數(shù)列滿足， 求的值； 【答案】；【解析】依題意， ；例2.(2015高考山東卷節(jié)選)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（I）求的通項(xiàng)公式；答案】例3.(2015高考新課標(biāo)1節(jié)選)為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=.求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?3，當(dāng)時(shí)，=，即，因?yàn)?，所?2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；數(shù)列的概念及表示練習(xí)一、 選擇題 1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann28n15，則3 ()A不是數(shù)列an中的項(xiàng)B只是數(shù)列an中的第2項(xiàng)C只是數(shù)列an中的第6項(xiàng)D是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)【答案】D【解析】令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為 ()A15 B16C49D64【答案】A【解析】當(dāng)n8時(shí)，a8S8S7827215.3在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5等于 ()A B C. D【答案】D4下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是 ()A1，B1，2，3，4，C1，D1，【答案】C【解析】根據(jù)定義，屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A，B，C，屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C，D，故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a12，an1Sn1(nN*)，則S5 ()A31B42C37D47【答案】D【解析】an1Sn1(nN*)，即Sn1SnSn1(nN*)，Sn112(Sn1)(nN*)，數(shù)列Sn1為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為3，公比為2.則S51324，解得S547.故選D.6把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形則第7個(gè)三角形數(shù)是 () A27B28C29D30【答案】B【解析】由題圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是123456728.7已知a11，ann(an1an)(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 ()A2n1BCn2Dn【答案】D8已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則該數(shù)列的前2 019項(xiàng)的乘積a1a2a3a2 019 ()ABC3D3【答案】C【解析】由題意可得，a23，a3，a4，a52a1，數(shù)列an是以4為周期的數(shù)列，而2 01945043，a1a2a3a41，前2 019項(xiàng)的乘積為1504a1a2a33.9.設(shè)數(shù)列an滿足a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，則a20的值是 ()ABCD【答案】D10.已知nN*，給出4個(gè)表達(dá)式：anan；an；an.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通項(xiàng)公式的是 ()ABCD【答案】A【解析】檢驗(yàn)知都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式11.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2an4(nN*)，則an () A2n1B2nC2n1D2n2【答案】A【解析】由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，兩式相減可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an42n12n1，故選A12若數(shù)列an滿足：a119，an1an3(nN*)，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為 ()A6B7C8D9【答案】B二、填空題13在數(shù)列1,0，中，0.08是它的第_項(xiàng)【答案】10【解析】令0.08，得2n225n500，則(2n5)(n10)0，解得n10或n(舍去)a100.08.14設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，若a432，則a1_.【答案】12【解析】Sn，a432，32，a1.15已知數(shù)列an滿足a11，anan1nanan1(nN*)，則an_. 【答案】【解析】由已知得，n，所以n1，n2，1，所以，a11，所以，所以an.16在一個(gè)數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.【答案】28【解析】依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.三、解答題17. 已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.【答案】(1) an4n5. (2) an18.分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)a12，an1an3n2(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)【答案】(1) an(n2) (2) ann (3) an23n11.【解析】(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1(311)2符合公式，ann2.19.(1)在數(shù)列an中，a12，an1an，求an. (2)在數(shù)列an中，a11，an12nan，求an.【答案】(1) an=3；(2) an2【解析】(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.(2)由于2n，故21，22，2n1，將這n1個(gè)等式疊乘，得212(n1)2，故an2.20已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n12.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnanan1，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式【答案】(1)an2n(nN*)(2)bn32n21已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【答案】(1) a11， a22， a33，a44. (2) ann.【解析】(1)由Snaan(nN*)，可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)Snaan，當(dāng)n2時(shí)，Sn1aan1，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故ann.22已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于nN*，都有an1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1) 最小值為a2a32. (2) (3，)