專題42 不等式選講一、考綱要求：1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法二、概念掌握和解題上注意點：1.解絕對值不等式的基本方法(1)利用絕對值的定義，通過分類討論，用零點分段法轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式，零點分段法的操作程序是：找零點，分區(qū)間，分段討論；(2)當(dāng)不等式兩端均非負(fù)時，可通過兩邊平方的方法轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解2.作差比較法證明不等式的步驟：(1）作差；(2）變形；(3）判斷差的符號；(4）下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).3.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.4.分析法證明不等式的注意事項：用分析法證明不等式時，不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”，分析法的過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時，應(yīng)正確使用“要證”“只需證”這樣的連接“關(guān)鍵詞”.三、高考考題題例分析例1.（2018全國卷I）已知f（x）=|x+1|ax1|（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）時不等式f（x）x成立，求a的取值范圍【答案】（1）（，+）；（2）0，2【解析】：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x+1|x1|=，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集為（，+），例2.（2018全國卷II）設(shè)函數(shù)f（x）=5|x+a|x2|（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范圍【答案】（1）2，3；（2）6，2【解析】：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=5|x+1|x2|=當(dāng)x1時，f（x）=2x+40，解得2x1，當(dāng)1x2時，f（x）=20恒成立，即1x2，當(dāng)x2時，f（x）=2x+60，解得2x3，綜上所述不等式f（x）0的解集為2，3，例3.（2018全國卷III）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x1|（1）畫出y=f（x）的圖象；（2）當(dāng)x0，+）時，f（x）ax+b，求a+b的最小值【答案】見解析【解析】：（1）當(dāng)x時，f（x）=（2x+1）（x1）=3x，當(dāng)x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，當(dāng)x1時，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，則f（x）=對應(yīng)的圖象為：畫出y=f（x）的圖象； 例10.(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|1ab|.【答案】(1) Mx|1x1；(2)見解析不等式選講練習(xí)題1已知|2x3|1的解集為m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求證：|x|a|1.【答案】(1) mn3；(2)見解析2已知函數(shù)f(x)|x4|xa|(aR)的最小值為a.(1)求實數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)5. 【答案】(1) a2；(2) 【解析】：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，從而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故當(dāng)x2時，令2x65，得x2，當(dāng)2<x4時，顯然不等式成立，當(dāng)x>4時，令2x65，得4<x，故不等式f(x)5的解集為.3(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正實數(shù)a，b滿足ab，求證：1.【答案】(1) ；(2)見解析【解析】：(1)當(dāng)x時，x52x31，解得x7，7x；當(dāng)<x<5時，x52x31，解得x，<x；當(dāng)x5時，x5(2x3)1，解得x9，舍去綜上，7x.故原不等式的解集為.(2)證明：要證1，只需證ab21，即證2，即證.而ab2，成立原不等式成立4已知函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)證明：f(x)2；(2)當(dāng)a1時，求不等式f(x)5的解集【答案】(1)見解析；(2) 5設(shè)函數(shù)f(x)|x1|2x1|的最大值為m. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)若a22c23b2m，求ab2bc的最大值【答案】見解析【解析】：(1)f(x)畫出圖象如圖，6已知函數(shù)f(x)(a0)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若當(dāng)x0,1時，不等式f(x)1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1) ；(2) 1a5且a0.【解析】：(1)|ax2|44ax242ax6，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的定義域為；當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的定義域為.(2)f(x)1|ax2|3，記g(x)|ax2|，因為x0,1，所以只需1a5，又a0，所以1a5且a0.7.已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)求不等式f(x)x24>0的解集；(2)設(shè)g(x)|x7|3m，若關(guān)于x的不等式f(x)<g(x)的解集非空，求實數(shù)m的取值范圍. 【答案】(1) x|x>2或x<1；(2) (3，)8.已知函數(shù)f(x)|xa2|xa1|.(1)證明：f(x)；(2)若f(4)<13，求a的取值范圍【答案】(1)見解析 ；(2) (2,3)【解析】：(1)證明：f(x)|xa2|xa1|(xa2)(xa1)|a2a1|.(2)因為f(4)|a24|a3|所以f(4)<13或解得2<a<3，即a的取值范圍是(2,3) 9.已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)當(dāng)a0時，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍. 【答案】(1) (，1；(2) 10設(shè)a，b是非負(fù)實數(shù)，求證：a2b2(ab)【答案】見解析【解析】：因為a2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).因為a0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與同號，所以(ab)0，所以a2b2(ab)11設(shè)不等式|2x1|<1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小. 【答案】(1) Mx|0<x<1； (2) ab1>ab【解析】：(1)由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1.所以Mx|0<x<1(2)由(1)和a，bM可知0<a<1,0<b<1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)>0.故ab1>ab.12已知函數(shù)f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求實數(shù)m的最大值M；(2)在(1)成立的條件下，正實數(shù)a，b滿足a2b2M，證明：ab2ab.【答案】(1) m的最大值M2.；(2)見解析13已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值【答案】【解析】：由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，當(dāng)且僅當(dāng)c3時等號成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.14已知函數(shù)f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集為1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正實數(shù)，且1.求證：a2b3c9.【答案】(1) k1；(2)見解析15已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b). 【答案】(1) Mx|x1或x1； (2)見解析【解析】：(1)當(dāng)x1時，原不等式可化為x12x2，解得x1；當(dāng)1x時，原不等式可化為x12x2，解得x1，此時原不等式無解；當(dāng)x時，原不等式可化為x12x，解得x1.綜上，Mx|x1或x1