基礎(chǔ)送分專(zhuān)題三不等式不等式的性質(zhì)及解法題組練透1(2019屆高三南寧二中、柳州高中聯(lián)考)設(shè)a>b，a，b，cR，則下列式子正確的是()Aac2>bc2B.>1Cac>bc Da2>b2解析：選C若c0，則ac2bc2，故A錯(cuò)；若b<0，則<1，故B錯(cuò)；不論c取何值，都有ac>bc，故C正確；若a，b都小于0，則a2<b2，故D錯(cuò)于是選C.2已知關(guān)于x的不等式(ax1)(x1)<0的解集是(，1)，則a()A2 B2C D.解析：選B根據(jù)一元二次不等式與之對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系知1，是一元二次方程ax2(a1)x10的兩個(gè)根，所以1，所以a2.3設(shè)p：x2x20>0，q：<0，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選Ap：由x2x20>0，解得x>5或x<4.q：由<0(1x2)(|x|2)<0，當(dāng)x0時(shí)，可化為(x1)(x1)(x2)>0，解得0x<1或x>2.當(dāng)x<0時(shí)，可化為(x1)(x1)(x2)<0，解得1<x<0或x<2，故<0的解為x<2或1<x<1或x>2，所以由pq，但qp，故選A.4若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.2解析：選B當(dāng)a240時(shí)，解得a2或a2，當(dāng)a2時(shí)，不等式可化為4x10，解集不是空集，不符合題意；當(dāng)a2時(shí)，不等式可化為10，此式不成立，解集為空集當(dāng)a240時(shí)，要使不等式的解集為空集，則有解得2<a<.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選B.5若不等式x2ax2>0在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是_解析：由a28>0，知方程x2ax20恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程x2ax20必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0，解得a，故a的取值范圍為.答案：題后悟通快審題1.看到有關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定，想到不等式的性質(zhì)2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟準(zhǔn)解題1.明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集(2)含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解2.掌握不等式恒成立問(wèn)題的解題方法(1)f(x)>a對(duì)一切xI恒成立f(x)min>a；f(x)<a對(duì)一切xI恒成立f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)對(duì)一切xI恒成立f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方(3)解決恒成立問(wèn)題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)利用分離參數(shù)法時(shí)，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等避誤區(qū)解形如一元二次不等式ax2bxc>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題題組練透1(2019屆高三重慶調(diào)研)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件則z2xy的最小值為()A3B4C5 D7解析：選B作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線2xy0并平移該直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z2xy取得最小值，且zmin2124，故選B.2(2018廣州測(cè)試)若x，y滿(mǎn)足約束條件則zx22xy2的最小值為()A. B.C D解析：選D畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)zx22xy2(x1)2y21的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(1,0)的距離的最小值為，故zmin1.3(2019屆高三湖北八校聯(lián)考)已知x，y滿(mǎn)足約束條件若zx2y的最大值為4，則實(shí)數(shù)m的值為()A4 B2C1 D1解析：選B作出約束條件所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知直線zx2y過(guò)A點(diǎn)時(shí)z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m2022.4(2018合肥質(zhì)檢)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷(xiāo)售利潤(rùn)分別為2千元/件、1千元/件甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí)A，B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤(rùn)的最大值為()A320千元 B360千元C400千元 D440千元解析：選B設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤(rùn)為z千元，則每月利潤(rùn)z2xy，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2xy0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)直線2x3y480與直線6xy960的交點(diǎn)(150,60)時(shí)，z取得最大值，為360.5(2018全國(guó)卷)若x，y滿(mǎn)足約束條件則z3x2y的最大值為_(kāi)解析：作出滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示由z3x2y，得yx.作直線l0：yx.平移直線l0，當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，z取最大值，zmax32206.答案：6題后悟通快審題1.看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解2.看到形如z(xa)2(yb)2和形如z，想到其幾何意義3.看到最優(yōu)解型的實(shí)際應(yīng)用題，想到線性規(guī)劃問(wèn)題，想到確定實(shí)際意義準(zhǔn)解題記牢三種常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)及其求法(1)截距型：形如zaxby，求這類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為yx，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z|PM|2.(3)斜率型：形如z，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則zkPM.避誤區(qū)1.忽視目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)，而由直線截距的最值確定目標(biāo)函數(shù)的最值2.求解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫(huà)出來(lái)，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值.基本不等式及其應(yīng)用題組練透1已知正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是2，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4C5 D6解析：選C由正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是2，可得ab4，又mb，na，所以mnab25，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取“”，故mn的最小值為5.2已知P(a，b)為圓x2y24上任意一點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，a2的值為()A. B2C. D3解析：選CP(a，b)為圓x2y24上任意一點(diǎn)，a2b24.又a0，b0，(a2b2)，當(dāng)且僅當(dāng)b22a2時(shí)取等號(hào)，故a2，選C.3設(shè)x>0，則函數(shù)yx的最小值為_(kāi)解析：yx2220.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時(shí)等號(hào)成立答案：04(2018石家莊質(zhì)檢)已知直線l：axbyab0(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)，則ab的最小值為_(kāi)解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)，所以2a3bab0，即1，所以ab(ab)552，當(dāng)且僅當(dāng)，即a3，b2時(shí)等號(hào)成立答案：525(2018洛陽(yáng)統(tǒng)考)我市某高中從高三年級(jí)甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(河南初賽)，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿(mǎn)分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a，G，b成等差數(shù)列且x，G，y成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)解析：由甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是81，可知81為甲班7名學(xué)生的成績(jī)按從小到大的順序排列的第4個(gè)數(shù)，故x1.由乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為86，可得(10)(6)(4)(y6)57100，解得y4.由x，G，y成等比數(shù)列，可得G2xy4，由正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a，G，b成等差數(shù)列，可得G2，ab2G4，所以(ab) (54)(當(dāng)且僅當(dāng)b2a時(shí)取等號(hào))故的最小值為.答案：題后悟通快審題看到最值問(wèn)題，想到“積定和最小”，“和定積最大”準(zhǔn)解題掌握基本不等式求最值的3種解題技巧(1)湊項(xiàng)：通過(guò)調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值(2)湊系數(shù)：若無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過(guò)湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)，即化為ymBg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值避誤區(qū)運(yùn)用基本不等式時(shí)，一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，和或積為定值；“三相等”是指滿(mǎn)足等號(hào)成立的條件若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號(hào)成立的條件一致，否則最值取不到. 一、選擇題1已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，則ab()A1B0C1D3解析：選D由題意得，不等式x22x30的解集A(1，3)，不等式x2x60的解集B(3,2)，所以AB(1,2)，即不等式x2axb0的解集為(1,2)，所以a1，b2，所以ab3.2若x>y>0，m>n，則下列不等式正確的是()Axm>ymBxmynC.> Dx>解析：選DA不正確，因?yàn)橥蛲坏仁较喑?，不等?hào)方向不變，m可能為0或負(fù)數(shù)；B不正確，因?yàn)橥虿坏仁较鄿p，不等號(hào)方向不確定；C不正確，因?yàn)閙，n的正負(fù)不確定故選D.3已知aR，不等式1的解集為p，且2p，則a的取值范圍為()A(3，) B(3,2)C(，2)(3，) D(，3)2，)解析：選D2p，<1或2a0，解得a2或a<3.4(2018成都一診)若關(guān)于x的不等式x22ax10在0，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(0，) B1，)C1,1 D0，)解析：選B法一：當(dāng)x0時(shí)，不等式為10恒成立；當(dāng)x0時(shí)，x22ax102ax(x21)2a，又2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，所以2a2a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)法二：設(shè)f(x)x22ax1，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線xa.當(dāng)a0，即a0時(shí)，f(0)10，所以當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)0恒成立；當(dāng)a0，即a0時(shí)，要使f(x)0在0，)上恒成立，需f(a)a22a21 a210，得1a0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)5已知函數(shù)f(x)若不等式f(x)10在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，0) B2,2C(，2 D0,2解析：選C由f(x)1在R上恒成立，可得當(dāng)x0時(shí)，2x11，即2x0，顯然成立；又x0時(shí)，x2ax1，即為ax，由x2 2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，取得最小值2，可得a2，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，26若<<0，給出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號(hào)是()A BC D解析：選C法一：因?yàn)?lt;<0，故可取a1，b2.顯然|a|b121<0，所以錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 4>0，所以錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.法二：由<<0，可知b<a<0.中，因?yàn)閍b<0，ab>0，所以<，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，所以b>a>0，故b>|a|，即|a|b<0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，則>>0，所以a>b，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確7(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知x0，y0，且4xyxy，則xy的最小值為()A8 B9C12 D16解析：選B由4xyxy，得1，則xy(xy)14259，當(dāng)且僅當(dāng)，即x3，y6時(shí)取“”，故選B.8如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組目標(biāo)函數(shù)zkxy的最大值為6，最小值為0，則實(shí)數(shù)k的值為()A1 B2C3 D4解析：選B作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示則A(1,2)，B(1，1)，C(3,0)，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)zkxy的最小值為0，所以目標(biāo)函數(shù)zkxy的最小值可能在A或B處取得，所以若在A處取得，則k20，得k2，此時(shí)，z2xy在C點(diǎn)有最大值，z2306，成立；若在B處取得，則k10，得k1，此時(shí)，zxy，在B點(diǎn)取得最大值，故不成立，故選B.9(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤(rùn)為()甲乙原料限額A/噸3212B/噸128A15萬(wàn)元 B16萬(wàn)元C17萬(wàn)元 D18萬(wàn)元解析：選D設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利潤(rùn)z萬(wàn)元，由題意可知z3x4y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，直線z3x4y過(guò)點(diǎn)M時(shí)取得最大值，由得M(2,3)，故z3x4y的最大值為18，故選D.10已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件若ykx3恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C(，0 D.0，)解析：選A由約束條件作出可行域如圖中陰影分部所示，則A，B(3，3)，C(3,8)，由題意得解得k0.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.11若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足1，且不等式xn20有解，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是()A. B.(1，)C(1，) D.解析：選B因?yàn)椴坏仁絰n20有解，所以minn2，因?yàn)閤0，y0，且1，所以x2 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y5時(shí)取等號(hào)，所以min，故n20，解得n或n1，所以實(shí)數(shù)n的取值范圍是(1，)12(2019屆高三福州四校聯(lián)考)設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件其中a0，若的最大值為2，則a的值為()A. B.C. D.解析：選C設(shè)z，則yx，當(dāng)z2時(shí)，yx，作出x，y滿(mǎn)足的約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線yx，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x2y10的交點(diǎn)為，當(dāng)直線xa過(guò)點(diǎn)時(shí)，a，又此時(shí)直線yx的斜率的最小值為，即1的最小值為，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為，故選C.二、填空題13(2018岳陽(yáng)模擬)不等式1的解集為_(kāi)解析：不等式1可轉(zhuǎn)化成10，即0，等價(jià)于解得x2，故不等式的解集為.答案：14(2018全國(guó)卷)若x，y滿(mǎn)足約束條件則zxy的最大值為_(kāi)解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示由圖可知當(dāng)直線xyz過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取得最大值由得點(diǎn)A(5,4)，zmax549.答案：915已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為xx1或x，則關(guān)于x的不等式c(lg x)2lg xba0的解集為_(kāi)解析：由題意知1，是方程ax2bxc0的兩根，所以且a0，所以所以不等式c(lg x)2lg xba0化為a(lg x)2blg xa0，即a(lg x)2alg xa0.所以(lg x)2lg x20，所以1lg x2，所以x100.答案：16設(shè)x0，y0，且2，則當(dāng)x取最小值時(shí)，x2_.解析：x0，y0，當(dāng)x取最小值時(shí)，2取得最小值，2x2，2，x2，22 16，x4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x取最小值時(shí)，x2y，x216，即x216，x216412.答案：12