專題31 橢圓及其性質(zhì)一、考綱要求：1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應(yīng)用二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)：1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點(diǎn)的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等.2.橢圓的定義式必須滿足2a|F1F2|.3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法與待定系數(shù)法，但基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A0，B0，AB)的形式.4.求橢圓離心率的方法直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.5.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式.6.直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率）.三、高考考題題例分析例1.（2018課標(biāo)卷I）設(shè)橢圓C：+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMA=OMB【答案】（1）y=x+，y=x， （2）見解析證明：（2）當(dāng)l與x軸重合時，OMA=OMB=0，當(dāng)l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，OMA=OMB，當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y=k（x1），k0，A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMA，kMB之和為kMA+kMB=+，由y1=kx1k，y2=kx2k得kMA+kMB=，將y=k（x1）代入+y2=1可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k24k12k2+8k2+4k）=0從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，OMA=OMB，綜上OMA=OMB 例7.(2017全國卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)【答案】A【解析】法一：設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(x，y)過點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)N，則N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x23，則.解得|y|.又0<|y|，即0，結(jié)合0m3解得0m1.對于焦點(diǎn)在y軸上的情況，同理亦可得m9.則m的取值范圍是(0,19，)故選A例8.(2017課標(biāo)卷I)已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).【答案】（1）（2）見解析試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)（2，）例9.(2017課標(biāo)卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()ABCD【答案】A例10.(2017課標(biāo)卷II)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F?！敬鸢浮?1) 。(2)證明略。試題解析：（1）設(shè),設(shè),。由得。因?yàn)樵贑上，所以。因此點(diǎn)P的軌跡方程為。（2）由題意知。設(shè),則，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F。橢圓及其性質(zhì)練習(xí)題一、選擇題1已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A1B1C1D1【答案】D【解析】橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.2橢圓C：1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則F1AB的周長為 ()A12B16C20D24【答案】C3直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為 ()AB.CD【答案】B【解析】如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e. 19.已知橢圓E的一個頂點(diǎn)為A(0，1)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：ykx1(k0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B，C，若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求BOC的面積【答案】(1) y21. (2) .(2)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k21)x26kx0，由原點(diǎn)O到直線l的距離為，得k2，又|BC| 2，SBOC|BC|，BOC的面積為.20.已知曲線C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲線過A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲線C上兩點(diǎn)，向量p(x1，y1)，q(x2，y2)，且pq0，若直線MN過點(diǎn)，求直線MN的斜率【答案】(1) y24x21. (2) .21已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l：ykxm與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)若3，求m2的取值范圍【答案】(1) x21(2) (1,4)(2)根據(jù)已知得P(0，m)，設(shè)A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得，(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由3得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.當(dāng)m21時，m2k2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.1m24.m2的取值范圍是(1,4)22對于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為利用此結(jié)論解答下列問題點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，并且橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點(diǎn)在直線上，經(jīng)過點(diǎn)的直線，與橢圓相切，切點(diǎn)分別為，求證：直線必經(jīng)過一定點(diǎn)【答案】（1）（2）直線必經(jīng)過一定點(diǎn)（2）設(shè)，則切線，切線都經(jīng)過點(diǎn)，即直線的方程為又，直線必經(jīng)過一定點(diǎn)