專題跟蹤檢測（十四） 圓錐曲線的綜合問題1(2018武漢調(diào)研)已知拋物線C：x22py(p>0)和定點M(0,1)，設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線的交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程解：設(shè)直線AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x22pkx2p0，則x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，則A，B處的切線斜率的乘積為，點N在以AB為直徑的圓上，ANBN，1，p2.(2)易得直線AN：yy1(xx1)，直線BN：yy2(xx2)，聯(lián)立結(jié)合式，解得即N(pk，1)所以|AB|x2x1|，點N到直線AB的距離d，則SABN|AB|d2，當k0時，取等號，ABN的面積的最小值為4，24，p2，故拋物線C的方程為x24y.2(2019屆高三河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：y21，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m，n，mn0.(1)求證：k1k2；(2)試探求POQ的面積S是否為定值，并說明理由解：(1)證明：k1，k2存在，x1x20，mn0，y1y20，k1k2.(2)當直線PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2時，由，得y0，又由P(x1，y1)在橢圓上，得y1，|x1|，|y1|，SPOQ|x1|y1y2|1.當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)>0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，滿足>0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.POQ的面積S為定值3.(2018長春質(zhì)檢)如圖，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O為AB的中點，P，Q分別是AD和CD上的點，且滿足，直線AQ與BP的交點在橢圓E：1(a>b>0)上(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)R為橢圓E的右頂點，M為橢圓E第一象限部分上一點，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值解：(1)設(shè)AQ與BP的交點為G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由題可知，.kAGkAQ，kBGkBP，從而有，整理得y21，即橢圓E的方程為y21.(2)由(1)知R(2,0)，設(shè)M(x0，y0)，則y0，從而梯形ORMN的面積S(2x0)y0，令t2x0，則2<t<4，S.令u4t3t4，則u12t24t34t2(3t)，當t(2,3)時，u>0，u4t3t4單調(diào)遞增，當t(3,4)時，u<0，u4t3t4單調(diào)遞減，所以當t3時，u取得最大值，則S也取得最大值，最大值為.4已知拋物線E：y22px(p>0)，直線xmy3與E交于A，B兩點，且6，其中O為坐標原點(1)求拋物線E的方程；(2)已知點C的坐標為(3,0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：2m2為定值解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去x，整理得y22pmy6p0，則y1y22pm，y1y26p，x1x29，由x1x2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)證明：由題意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m212m36.由(1)可知：y1y22pmm，y1y26p3，所以2m212m3624，所以2m2為定值5(2018惠州調(diào)研)已知C為圓(x1)2y28的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A(1,0)和AP上的點M，滿足0，2.(1)當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；(2)若斜率為k的直線l與圓x2y21相切，與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且，求k的取值范圍解：(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2>|CA|2，所以點Q的軌跡是以點C，A為焦點，焦距為2，長軸長為2的橢圓，所以a，c1，b1，故點Q的軌跡方程是y21.(2)設(shè)直線l：ykxt，F(xiàn)(x1，y1)，H(x2，y2)，直線l與圓x2y21相切1t2k21.聯(lián)立(12k2)x24ktx2t220，則16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k2>0k0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范圍是.6.如圖所示，設(shè)橢圓M：1(a>b>0)的左頂點為A，中心為O，若橢圓M過點P，且APOP.(1)求橢圓M的方程；(2)若APQ的頂點Q也在橢圓M上，試求APQ面積的最大值；(3)過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點，且k1k21，求證：直線DE過定點解：(1)由APOP，可知kAPkOP1.又點A的坐標為(a,0)，所以1，解得a1.又因為橢圓M過點P，所以1，解得b2，所以橢圓M的方程為x21.(2)由題意易求直線AP的方程為，即xy10.因為點Q在橢圓M上，故可設(shè)Q，又|AP|，所以SAPQ cos1 .當2k(kZ)，即2k(kZ)時，SAPQ取得最大值.(3)證明：法一：由題意易得，直線AD的方程為yk1(x1)，代入x23y21，消去y，得(3k1)x26kx3k10.設(shè)D(xD，yD)，則(1)xD，即xD，yDk1.設(shè)E(xE，yE)，同理可得xE，yE.又k1k21且k1k2，可得k2且k11，所以xE，yE，所以kDE，故直線DE的方程為y.令y0，可得x2.故直線DE過定點(2,0)法二：設(shè)D(xD，yD)，E(xE，yE)若直線DE垂直于y軸，則xExD，yEyD，此時k1k2與題設(shè)矛盾，若DE不垂直于y軸，可設(shè)直線DE的方程為xtys，將其代入x23y21，消去x，得(t23)y22tsys210，則yDyE，yDyE.又k1k21，可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20，所以(t21)t(s1)(s1)20，可得s2或s1.又DE不過點A，即s1，所以s2.所以DE的方程為xty2.故直線DE過定點(2,0)7(2018南昌模擬)如圖，已知直線l：ykx1(k>0)關(guān)于直線yx1對稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：y21分別交于點A，M和A，N，記直線l1的斜率為k1. (1)求kk1的值；(2)當k變化時，試問直線MN是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由解：(1)設(shè)直線l上任意一點P(x，y)關(guān)于直線yx1對稱的點為P0(x0，y0)，直線l與直線l1的交點為(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.同理可得xN，yN.kMN，直線MN：yyMkMN(xxM)，即y，即yxx.當k變化時，直線MN過定點.8(2019屆高三湘東五校聯(lián)考)已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點恰好是拋物線x28y的焦點(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，已知P(2,3)，Q(2，3)是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；當A，B運動時，滿足APQBPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請說明理由解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，拋物線的焦點為(0,2)b2.由，a2c2b2，得a4，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)設(shè)直線AB的方程為yxt，代入1，得x2txt2120，由>0，解得4<t<4，x1x2t，x1x2t212，|x1x2|.四邊形APBQ的面積S6|x1x2|3.當t0時，S取得最大值，且Smax12.若APQBPQ，則直線PA，PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為k，直線PA的方程為y3k(x2)，由消去y，得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480，x12，將k換成k可得x22，x1x2，x1x2，kAB，直線AB的斜率為定值.