杭州師范大學(xué)年招收攻讀碩士研究生入學(xué)考試題考試科目代碼：721考試科目名稱：量子力學(xué)說明：考生答題時(shí)一律寫在答題紙上，否則漏批責(zé)任自負(fù)。一、填空題（每空3分，共30分）、根據(jù)德布羅意波粒二象性，能量為&動量為q的微觀粒子，與對應(yīng)的波動的頻率”和波長人的關(guān)系式分別是,o完成對易關(guān)系:x,px=,d"x<TV=o1. 量子力學(xué)中的薛定譚方程的形式為,定態(tài)薛定譚方程為,從定態(tài)的解出發(fā)構(gòu)造薛定謬方程的一般解的表達(dá)形式為。2. 設(shè)兩力學(xué)量算符滿足對易關(guān)系修/=廳，則力學(xué)量A和B的測不準(zhǔn)關(guān)系式為。3. 全同粒子體系的波函數(shù)的特點(diǎn)是,原因是o二、簡答題（每題6分，共30分）1. 量子力學(xué)中微觀粒子的波粒二象性與光的波粒二象性有什么區(qū)別？2. 敘述量子力學(xué)中物理量算符的性質(zhì)以及與力學(xué)量測量值之間的關(guān)系。3. 說明當(dāng)勢能V（x）是偶函數(shù)時(shí)，定態(tài)薛定謂方程的解“（X）總可以寫成偶函數(shù)或者奇函數(shù)的形式。4. 敘述（或者通過變換關(guān)系式描述）你對量子力學(xué)中的表象變換的理解。如何理解電子的自旋？三、計(jì)算題（90分）（15分）質(zhì)量為?的粒子，在一維無限深勢阱中叩）。，庭心co,x<0,x>a中運(yùn)動。求（1）求粒子的能量本征值和本征函數(shù)；（5分）（2）若1=°時(shí)，粒子處于-（%0）=（對-&由（x）+（x）狀態(tài)上，其中，婦工）為粒子能量的第個(gè)本征態(tài)。求.=0時(shí)能量的可測值與相應(yīng)的取值幾率；（5分）（3）求，>°時(shí)的波函數(shù)心*）及能量可測值與相應(yīng)的取值幾率。（5分）（10分）設(shè)皿=購）丫睥饑為氫原子的能量為屬定態(tài)波函數(shù)，當(dāng)t=0時(shí)氫原子處于狀態(tài)"（廠,0,0）=（2/100+21Q+W211+21-）求：（1）氫原子能量及其幾率；（4分）（2）軌道角動量平方矛的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及個(gè)的平均值；（4分）（3）z分量山的可能值，可能值出現(xiàn)的幾率以及上的平均值；（2分）I/z1. （15分）假設(shè)量子系統(tǒng)的基態(tài)為認(rèn)x）=亍22”，求：（1）勢能的平均值萬=|pcoQ;（5分）（2）動能的平均值f=（5分）2/4.m分）-維諧振子的哈密頓量寫成為以=土,定義如下的算符E)aE)a動量的幾率分布函數(shù)。（5分）（提示：x5dx=1.35.（2/?-1）Joa-j1(mcox+ip)l2hmcod=.mo)x-ip)l2iimco=1o(4分)=1o(4分)求（1）證明（2）利用。和”表示H。（4分）（3）基態(tài)滿足求基態(tài)波函數(shù)化）和基態(tài)能量。（7分）ab5. （20分）設(shè)一量子體系的哈密頓量為：H=E2c,且俱1,網(wǎng)1,b*c*£3ldi,利用微擾法計(jì)算二級近似下的能量本征值。6. （15分）設(shè)家原子中的兩個(gè)電子都處于Is態(tài)，兩個(gè)電子基態(tài)的空間波函數(shù)為-0Z）=Voo（E）”ioo（W），求（i）寫出電子四個(gè)可能的自旋波函數(shù)；（ii）寫出兩個(gè)電子交換反對稱的總波函數(shù)（同時(shí)考慮空間自由度和自旋自由度）。