專題13 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)一、 考綱要求:會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)二、 概念掌握及解題上的注意點(diǎn)：1.函數(shù)對(duì)稱的重要結(jié)論(1)函數(shù)yf(x)與yf(2ax)的圖像關(guān)于直線xa對(duì)稱(2)函數(shù)yf(x)與y2bf(2ax)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱(3)若函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(ax)f(ax)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對(duì)稱其中(1)(2)為兩函數(shù)間的對(duì)稱，(3)為函數(shù)自身的對(duì)稱2.函數(shù)圖像的常用畫法(1)直接法：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而直接作出圖象。(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象(3)圖象變換法：若函數(shù)圖像可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作出3.已知函數(shù)解析式選圖，從函數(shù)的下列性質(zhì)考慮4.函數(shù)圖像應(yīng)用的常見題型與求解方法(1)研究函數(shù)性質(zhì)：根據(jù)已知或作出的函數(shù)圖象，從最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值.從圖像的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性.從圖像的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.從圖與x軸的交點(diǎn)情況，分析函數(shù)的零點(diǎn)等.(2)研究方程根的個(gè)數(shù)或由方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)的值(范圍)：構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.(3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.三、 高考題例分析：例1. (2017全國(guó)卷)函數(shù)f(x)sin的最小正周期為()A4B2C DC解析：函數(shù)f(x)sin的最小正周期T.故選C 例2.(2016全國(guó)卷)函數(shù)f(x)cos 2x6cos的最大值為()A4B5C6D7例3.(2017全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Af(x)的一個(gè)周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱Cf(x)的一個(gè)零點(diǎn)為xDf(x)在單調(diào)遞減 D解析：A項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個(gè)周期為2，A項(xiàng)正確B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos圖象的對(duì)稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，B項(xiàng)正確C項(xiàng)，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當(dāng)k1時(shí)，x，所以f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x，C項(xiàng)正確D項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的遞減區(qū)間為(kZ)，遞增區(qū)間為(kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項(xiàng)錯(cuò)誤故選D例4.（2018北京卷）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為解析：函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，可得：，kZ，解得=，kZ，0則的最小值為：故答案為：例5.（2018天津卷）將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（）A在區(qū)間，上單調(diào)遞增B在區(qū)間，上單調(diào)遞減C在區(qū)間，上單調(diào)遞增D在區(qū)間，2上單調(diào)遞減例6.（2018江蘇卷）已知函數(shù)y=sin（2x+）（）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則的值是解析：y=sin（2x+）（）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，2+=k+，kZ，即=k，當(dāng)k=0時(shí)，=，故答案為：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)練習(xí)一、 選擇題：1函數(shù)y的定義域?yàn)?)A B(kZ)C(kZ) DRC解析：由cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2下列函數(shù)中，周期為的奇函數(shù)為()Aysin xcos xBysin2xCytan 2xDysin 2xcos 2x3已知函數(shù)f(x)sin xacos x的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為()ABC DB解析：由x是f(x)圖象的對(duì)稱軸，可得f(0)f，即sin 0acos 0sinacos，解得a.4已知函數(shù)f(x)sin1(0)的最小正周期為，則f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是()AxBxCxDx5已知0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍可以是()A BCD(0,2A解析：由x，0得x，由題意結(jié)合選項(xiàng)，令，所以所以.6函數(shù)ysin在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖是()A解析：令x0，得ysin，排除B，D.由f0，f0，排除C7函數(shù)f(x)tan x(0)的圖象的相鄰兩支截直線y2所得線段長(zhǎng)為，則f的值是() ABC1 DD解析：由題意可知該函數(shù)的周期為，所以，2，f(x)tan 2x，所以ftan.8(2016全國(guó)卷)將函數(shù)y2sin的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin9若函數(shù)ycos(N*)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的最小值為()A1B2C4D8B解析：由題意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以min2.10已知函數(shù)f(x)sin，將其圖象向右平移(0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為()A BC DB解析：由題意，得平移后的函數(shù)為ysinsin，則要使此函數(shù)為奇函數(shù)，則2k(kZ)，解得(kZ)，由0，得的最小值為，故選B.11.已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為4，且xR，有f(x)f成立，則f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)是()A BC D12.(2017天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x)，xR，其中>0，|<.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，則()A，B，C，D，A解析：f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期為43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ.又|<，取k0，得.故選A二、 填空題 13已知下列函數(shù)：f(x)2sin；f(x)2sin；f(x)2sin；f(x)2sin.其中，最小正周期為且圖象關(guān)于直線x對(duì)稱的函數(shù)的序號(hào)是_14若函數(shù)f(x)sin(0)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱，x0，則x0_. 解析：由題意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.15如圖，某地一天614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b(|)，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為_y10sin20(6x14)解析：由圖知A10，b20，T2(146)16，所以，所以y10sin20，把點(diǎn)(10,20)代入，得sin0，因?yàn)閨，則可以取，所以這段曲線的函數(shù)解析式可以為y10sin20，x6,1416已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,3)，函數(shù)f(x)sin(x)(0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則f的值為_.三、 解答題; 17已知函數(shù)f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值解(1)f(x)2sincossin(x)cos xsin x2sin，于是T2.(2)由已知得g(x)f2sin.x0，x，sin，g(x)2sin1,2故函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值為2，最小值為1.18已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)因?yàn)閒(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T.19已知函數(shù)y2sin.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象解(1)y2sin的振幅A2，最小正周期T，初相.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表：xX02ysin X01010y2sin02020描點(diǎn)畫圖：20已知函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象過點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間21.(2016天津高考)已知函數(shù)f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.設(shè)A，B，易知AB.所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減22(2017山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)sinsin，其中0<<3，已知f0.(1)求；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的最小值(2)由(1)得f(x)sin ，所以g(x)sinsin.因?yàn)閤，所以x.當(dāng)x，即x時(shí)，g(x)取得最小值.