61.1 歸納一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大答案A2由集合a1，a1，a2，a1，a2，a3，的子集個(gè)數(shù)歸納出集合a1，a2，a3，an的子集個(gè)數(shù)為()An Bn1C2n D2n1答案C解析集合a1的子集有，a1共2個(gè)；a1，a2的子集有，a1，a2，a1，a2共4個(gè)；集合a1，a2，a3的子集共8個(gè)，猜測(cè)含n個(gè)元素的集合的子集有2n個(gè)，故選C.3根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123 45697等于()1921112931111239411111 234951111112 34596111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113答案B解析由數(shù)塔運(yùn)算積的知識(shí)易得B.4設(shè)n是自然數(shù)，則(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是整數(shù)C一定是偶數(shù) D是整數(shù)但不一定是偶數(shù)答案C解析當(dāng)n1時(shí)，值為0，當(dāng)n2時(shí)，值為0，當(dāng)n3時(shí)，值為2，當(dāng)n4時(shí)，值為0，當(dāng)n5時(shí)，值為6.5已知2，3，4，若6(a，b均為實(shí)數(shù))，推測(cè)a_，b_.答案6356設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN且n2時(shí)，fn(x)ffn1(x)_.答案解析先求分母中x項(xiàng)系數(shù)組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1,3,7,15，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n1，又函數(shù)結(jié)果分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16，故其通項(xiàng)公式為bn2n.fn(x).7設(shè)Sn，寫出S1，S2，S3，S4的值，歸納并猜想出結(jié)果，并給出證明解n1,2,3,4時(shí)，S1，S2，S3，S4.猜想：Sn.證明如下：，Sn(1)()()()1.二、能力提升8觀察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，則52 011的末四位數(shù)字為()A3 125 B5 625C0 625 D8 125答案D解析553 125,5615 625,5778 125,58的末四位數(shù)字為0 625,59的末四位數(shù)字為3 125,510的末四位數(shù)字為5 625,511的末四位數(shù)字為8 125,512的末四位數(shù)字為0 625，由上可得末四位數(shù)字周期為4，呈現(xiàn)規(guī)律性交替出現(xiàn)，所以52 011545017末四位數(shù)字為8 125.9(2013湖北(理)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n正方形數(shù)N(n,4)n2五邊形數(shù)N(n,5)n2n六邊形數(shù)N(n,6)2n2n.可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)(1)n2(2)n，于是N(n,24)11n210n，故N(10,24)1110210101 000.10(2013陜西(理)觀察下列等式： 1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案122232(1)n1n2n(n1)解析分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分組求和：(1222)(3242)(n1)2n2.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第n個(gè)等式n2.綜上，第n個(gè)等式：122232(1)n1n2n(n1)11根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式(1)a1a，an1；(2)對(duì)一切的nN*，an>0，且2an1.解(1)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nN*)(2)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230.對(duì)一切的nN*，an>0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nN*)12觀察以下等式：sin230cos260sin 30cos 60，sin240cos270sin 40cos 70，sin215cos245sin 15cos 45.寫出反映一般規(guī)律的等式，并給予證明解反映一般規(guī)律的等式是(表述形式不唯一)：sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos cos 30sin sin 30)2sin (cos cos 30sin sin 30)sin2(cos sin )2sin cos sin2sin2cos2sin2sin cos sin cos sin2(sin2cos2).三、探究與創(chuàng)新13在數(shù)列an中，a11，an1，nN，求a2，a3，a4，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明解an中a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項(xiàng)公式an(nN)證明如下：因?yàn)閍11，an1，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以1(n1)，即通項(xiàng)公式an(nN)