1.3.2 空間幾何體的體積 學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練1.如圖，ABC-ABC是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AABB的體積是_解析：設(shè)此三棱柱ABC-ABC的高為h，底面ABC的面積為S，則其體積為VSh1，又VC-ABCSh.VC-AABBVVC-ABC1.答案：2側(cè)面是正三角形的正三棱錐，體積是，則其表面積為_解析：設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)為a，則其高h(yuǎn) a，所以Va2aa3.由a3，解得a2.所以S表4a2a24.答案：43如果一個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐的底面直徑和高都等于一個(gè)球的直徑，則圓柱、球、圓錐的體積之比為_解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱、圓錐的高均為2R，V圓柱R22R2R3，V圓錐R22RR3，V球R3，V圓柱V球V圓錐321.答案：3214若一圓臺(tái)的上、下底面圓半徑之比為12，體積為7，高為1，則此圓臺(tái)的側(cè)面積為_解析：由圓臺(tái)體積公式可求得上、下底面圓半徑分別為和2，由此易得母線長(zhǎng)為2.由圓臺(tái)側(cè)面積公式得S圓臺(tái)側(cè)(2)26.答案：65圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑是10 cm，有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個(gè)鐵球，測(cè)得容器的水面下降了 cm，則這個(gè)鐵球的表面積為_cm2.解析：設(shè)該鐵球的半徑為r cm，則由題意得r3102，解得r353，r5 cm，這個(gè)鐵球的表面積S452100(cm2)答案：1006.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2_.解析：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則VV1V2Sh.E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，SAEFS，V1h(SS )Sh，V2ShV1Sh，V1V275.答案：757正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為3 cm，它的表面積為16 cm2，求它的體積解：設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a cm，高為h cm，則解得或所以V正四棱柱a2h414(cm3)或V正四棱柱a2h()2(cm3)8.如圖所示的圖形是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少厘米？解：因?yàn)椴ＡП菆A柱形，所以鉛錘取出后，水面下降部分的體積實(shí)際是一個(gè)小圓柱的體積，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為()22060(cm3)設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為(202)2x100x(cm3)所以60100x，解得x0.6 cm.則鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6 cm.高考水平訓(xùn)練1設(shè)三棱柱ABCA1B1C1為正三棱柱，底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)均為a，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，則幾何體BEFB1的體積為_解析：取BB1的中點(diǎn)D，連結(jié)DE，DF，則DEFBAC，三棱錐BEFB1可分為兩個(gè)體積相等的三棱錐B1DEF和BDEF.VBEFB1VBDEFVB1DEFSDEF(B1DBD)SABCBB1a2aa3.答案：a32如圖，一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使球浸入水中且水面恰好與鐵球頂部相切將球取出后，容器內(nèi)的水深是_解析：鐵球取出后，容器內(nèi)水的體積不變，設(shè)球被取出后容器內(nèi)水深為h.ABC是正三角形，O為ABC的中心，AO13OM3r，注水后圓錐的底面半徑O1Cr，球取出后的圓錐底面半徑為h.由題意，r3(h)2h(r)23r，解得hr.答案：r3如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中，剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓，分別作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底，求此圓錐的體積解：設(shè)圓的半徑為r，扇形的半徑為x，則2xx.又2r，x2r.x4r，ACxrr.(5)ra，r()a.又圓錐的高h(yuǎn)r，圓錐體積Vr2ha3.4如圖所示的OAB繞x軸和y軸各旋轉(zhuǎn)一周，各自會(huì)產(chǎn)生怎樣的幾何體，分別計(jì)算其表面積與體積解：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體是一個(gè)上、下底面半徑分別為2,3，高為3的圓臺(tái)，挖去了一個(gè)底面半徑為3，高為3的圓錐，如圖(1)所示其表面積是圓臺(tái)的半徑為2的底面積、圓臺(tái)的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積之和圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是，圓錐的母線長(zhǎng)是3，故表面積S122(23)33(459)；體積為V1(223223)3323(4969)10.繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體是一個(gè)大圓錐挖去了一個(gè)小圓錐，如圖(2)所示，此時(shí)大圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為3，高為3，小圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為，高為1，這個(gè)空間幾何體的表面積是這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，故表面積S2333(93)；體積為V2323321936.綜上可知，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積是(459)，體積是10；繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積是(93)，體積是6.