重點增分專題十一圓錐曲線的方程與性質全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018直線與拋物線的位置關系、平面向量數(shù)量積的運算T8雙曲線的幾何性質T5雙曲線的幾何性質T11雙曲線的幾何性質T11直線的方程及橢圓的幾何性質T12直線與拋物線的位置關系T162017直線與拋物線的位置關系、弦長公式、基本不等式的應用T10雙曲線的幾何性質T9雙曲線的漸近線及標準方程T5雙曲線的幾何性質T152016雙曲線的幾何性質與標準方程T5雙曲線的定義、離心率問題T11直線與橢圓的位置關系、橢圓的離心率T11拋物線與圓的綜合問題T10(1)圓錐曲線的定義、方程與性質是每年高考必考的內容以選擇題、填空題的形式考查，常出現(xiàn)在第412或1516題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質與標準方程，難度中等(2)圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第1920題的位置，一般難度較大 保分考點練后講評1.設F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為()A.B.C. D.解析：選D如圖，設線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以OMPF2，可得PF2x軸，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，所以.2.已知雙曲線的虛軸長為4，離心率e，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項，則|AB|等于()A8 B4C2 D8解析：選A由題意可知2b4，e，于是a2.2|AB|AF2|BF2|，|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|，得|AB|AF2|AF1|BF2|BF1|4a8.3.過拋物線y22px(p0)的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|2|BF|6，則p_.解析：設直線AB的方程為xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y22pmyp20，所以y1y2p2，4x1x2p2.設拋物線的準線為l，過A作ACl，垂足為C，過B作BDl，垂足為D，因為|AF|2|BF|6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：4解題方略圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點到準線的距離)注意應用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導致錯誤. 圓錐曲線的標準方程 保分考點練后講評大穩(wěn)定1.已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為4，漸近線方程為2xy0，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：選A易知雙曲線1(a0，b0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2xy0，得2，因為雙曲線的焦距為4，所以c2.結合c2a2b2，可得a2，b4，所以雙曲線的方程為1.2.若橢圓的中心為坐標原點，短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到橢圓上的點的距離的最小值為，則橢圓的標準方程為_解析：設長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，由已知得又a2b2c2，橢圓的標準方程為1或1.答案：1或13.若拋物線y22px(p0)上一點到焦點和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的標準方程為_解析：因為拋物線y22px(p0)上一點到拋物線對稱軸的距離為6，若設該點為P，則P(x0，6)因為P到拋物線焦點F的距離為10，根據(jù)拋物線的定義得x010.因為P在拋物線上，所以362px0.由解得p2，x09或p18，x01，所以拋物線的標準方程為y24x或y236x.答案：y24x或y236x解題方略求解圓錐曲線標準方程的思路定型就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設出標準方程計算即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設為mx2ny21(m>0，n>0)，雙曲線常設為mx2ny21(mn>0)小創(chuàng)新1.已知雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若2，且|4，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選D不妨設B(0，b)，由2，F(xiàn)(c,0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得1，.又|4，c2a2b2，a22b216.由可得，a24，b26，雙曲線C的方程為1.2.拋物線有如下光學性質：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點若拋物線y24x的焦點為F，一平行于x軸的光線從點M(3，1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為()A. BC D解析：選B將y1代入y24x，可得x，即A.由拋物線的光學性質可知，直線AB過焦點F(1,0)，所以直線AB的斜率k.3.如圖，記橢圓1，1內部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點，給出下列四個命題：P到F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值；曲線C關于直線yx，yx均對稱；曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36；曲線C的總長度不大于6.其中正確命題的序號為_解析：對于，若點P在橢圓1上，則P到F1(4，0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和為定值，到E1(0，4)，E2(0,4)兩點的距離之和不為定值，故錯；對于，聯(lián)立兩個橢圓的方程得y2x2，結合橢圓的對稱性知，曲線C關于直線yx，yx均對稱，故正確；對于，曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內部，所以其面積必小于36，故正確；對于，曲線C所圍區(qū)域的內切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長度必大于圓的周長6，故錯所以正確命題的序號為.答案： 增分考點深度精研析母題典例(1)(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()A.B.C. D.(2)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點若雙曲線的離心率為，AOB的面積為2，則p()A2 B1C2 D3(3)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2(e為雙曲線離心率)的值為_解析(1)如圖，作PBx軸于點B.由題意可設|F1F2|PF2|2，則c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.(2)不妨設A點在B點上方，由雙曲線的離心率為，得1e25，解得2，所以雙曲線的兩條漸近線方程為yx2x.又拋物線的準線方程為x，則交點的坐標為A，B，所以|AB|2p.由AOB的面積為2，得|AB|2，即2p2，解得p2，故選A.(3)如圖所示，因為|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|BF2|，所以|BF2|2a，|BF1|4a.所以|AF1|2a，|AF2|2a2a.因為|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，所以(2c)2(2a)2(2a2a)2，所以e252.答案(1)D(2)A(3)52練子題1本例(3)若變?yōu)椋阂阎獧E圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2_.解析：設|F1F2|2c，|AF1|m，因為F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，所以|AB|AF1|m，|BF1|m.由橢圓的定義可知F1AB的周長為4a，所以4a2mm，即m2(2)a.所以|AF2|2am(22)a.因為|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，所以4(2)2a24(1)2a24c2，所以e296.答案：962本例(3)若變?yōu)椋篎1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，點A在雙曲線上，且AF2F1為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為_解析：注意到|F2A|F1A|，不妨設|F2A|F1A|.因為AF2F1為等腰直角三角形，則|F2A|F1F2|F1A|11.所以e1.答案：13本例(3)中，若雙曲線上存在一點P，使得，求雙曲線離心率的取值 范圍解：如圖所示，由得|PF1|，且|PF2|.又由|PF1|ac，可得ac，即e22e10，解得1e1，又因為e>1，所以雙曲線離心率的取值范圍為(1，1解題方略1橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設所求雙曲線的方程多練強化1(2018全國卷)雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為()Ayx ByxCyx Dyx解析：選Ae，a2b23a2，ba.漸近線方程為yx.2(2018阜陽模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓1(ab0)的左、右兩個焦點，若橢圓上存在點P使得PF1PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選BF1，F(xiàn)2是橢圓1(a0，b0)的左、右兩個焦點，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2a2b2.設點P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化簡得x2y2c2.聯(lián)立方程組整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.3以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為()A2 B4C6 D8解析：選B設拋物線的方程為y22px(p>0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準線方程為x，不妨設A，D.點A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負值舍去)C的焦點到準線的距離為4.4(2018惠州調研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，不妨設F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)，則過點F1與漸近線yx平行的直線為yxc，聯(lián)立解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內，故22<c2，化簡得b2<3a2，即c2a2<3a2，解得<2，又雙曲線的離心率e1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)答案：(1,2) 增分考點廣度拓展分點研究題型一直線與圓錐曲線的位置關系例1(2016全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P，又N為M關于點P的對稱點，故N，故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N為OH的中點，即2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點，理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點解題方略1直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定通常的方法是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，其>0；另一方法就是數(shù)形結合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到2直線與圓錐曲線只有一個公共點的結論直線與圓錐曲線只有一個公共點，則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切題型二直線與圓錐曲線的弦長例2已知橢圓C：y21(a1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點(1)求橢圓C的方程；(2)設過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，點P橫坐標的取值范圍是，求線段AB長度的取值范圍解(1)因為以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點，所以bc1，即a，所以橢圓C的方程為y21.(2)過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，即直線AB的斜率存在且不為0.設直線AB的方程為yk(x1)，與y21聯(lián)立，得(12k2)x24k2x2k220.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M，則x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)，即M.所以線段AB的垂直平分線的方程為y，設點P(xP，yP)，令y0，得xP.因為xP，所以0k2.|AB| .因為0k2，所以12，即|AB|2.故線段AB長度的取值范圍是.解題方略直線與圓錐曲線的相交弦弦長的求法解決直線與圓錐曲線的相交弦問題的通法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y或x后得到一元二次方程，當0時，直線與圓錐曲線有兩個交點，設為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，則弦長|AB|y1y2|(k為直線的斜率且k0)，當A，B兩點坐標易求時也可以直接用|AB| 求之多練強化已知點M在橢圓G：1(a>b>0)上，且點M到兩焦點的距離之和為4.(1)求橢圓G的方程；(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P(3,2)，求PAB的面積解：(1)2a4，a2.又點M在橢圓上，1，解得b24，橢圓G的方程為1.(2)設直線l的方程為yxm.由得4x26mx3m2120.設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中點為E(x0，y0)，則x0，y0x0m.AB是等腰PAB的底邊，PEAB.PE的斜率k1，解得m2.此時方程為4x212x0，解得x13，x20，y11，y22，|AB|3.此時，點P(3,2)到直線AB：xy20的距離d，PAB的面積S|AB|d.數(shù)學運算直線與圓錐曲線綜合問題的求解典例已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為(，0)，且經(jīng)過點，點M是x軸上的一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點(點A在x 軸的上方)(1)求橢圓C的方程；(2)若2，且直線l與圓O：x2y2相切于點N，求|MN|.解(1)由題意知得(a24)(4a23)0，又a23b23，故a24，則b21，所以橢圓C的方程為y21.(2)設M(m,0)，直線l：xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得y12y2.由得(t24)y22tmym240，則y1y2，y1y2.由y1y22y，y1y22y2y2y2，得y1y22(y1y2)22(y1y2)2，所以22，化簡得(m24)(t24)8t2m2.易知原點O到直線l的距離d，又直線l與圓O：x2y2相切，所以，即t2m21.由得21m416m2160，即(3m24)(7m24)0，解得m2，此時t2，滿足0，所以M.在RtOMN中，|MN|.素養(yǎng)通路本題是直線與橢圓、圓的綜合問題：(1)由題意，列關于a，b的方程組，解方程組可得a，b的值進而求得橢圓的方程；(2)設出M，A，B的坐標及直線l的方程xtym，與橢圓方程聯(lián)立，再結合根與系數(shù)的關系，得m與t的關系，由直線與圓相切，得另一關系式，聯(lián)立可得M的坐標進而得|MN|.考查了數(shù)學運算這一核心素養(yǎng) A組“633”考點落實練一、選擇題1(2018全國卷)已知橢圓C：1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為()A.B.C. D.解析：選Ca24228，a2，e.2一個焦點為(，0)且與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B設所求雙曲線方程為t(t0)，因為一個焦點為(，0)，所以|13t|26.又焦點在x軸上，所以t2，即雙曲線方程為1.3若拋物線y24x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則OFP的面積為()A. B1C. D2解析：選B設P(x0，y0)，依題意可得|PF|x012，解得x01，故y41，解得y02，不妨取P(1,2)，則OFP的面積為121.4(2018全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A. B2C. D2解析：選De，1.雙曲線的漸近線方程為xy0.點(4,0)到C的漸近線的距離d2.5已知雙曲線x21 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且|AF1|BF1|，則|AB|()A2 B3C4 D21解析：選C設雙曲線的實半軸長為a，依題意可得a1，由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|2a2，|BF1|BF2|2a2，又|AF1|BF1|，故|AF2|BF2|4，又|AB|AF2|BF2|，故|AB|4.6(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為()A1 B2C. D.1解析：選D在RtPF1F2中，PF2F160，不妨設橢圓焦點在x軸上，且焦距|F1F2|2，則|PF2|1，|PF1|，由橢圓的定義可知，方程1中，2a1，2c2，得a，c1，所以離心率e1.二、填空題7已知雙曲線y21(a>0)的漸近線方程為yx，則其焦距為_解析：由漸近線方程yx，可得，解得a，故c2，故焦距為4.答案：48設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為_解析：設雙曲線方程為1(a>0，b>0)，由題意可知，直線l過焦點，且垂直于x軸，將xc代入雙曲線方程，解得y，則|AB|，由|AB|22a，則b22a2，所以雙曲線的離心率e.答案：9已知拋物線C的頂點為坐標原點，準線為x1，直線l與拋物線C交于M，N兩點，若線段MN的中點為(1,1)，則直線l的方程為_解析：依題意易得拋物線的方程為y24x，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為線段MN的中點為(1,1)，故x1x22，y1y22，則x1x2，由兩式相減得yy4(x1x2)，所以2，故直線l的方程為y12(x1)，即2xy10.答案：2xy10三、解答題10(2018石家莊模擬)設A，B為曲線C：y上兩點，A與B的橫坐標之和為2.(1)求直線AB的斜率；(2)設M為曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x22，故直線AB的斜率k1.(2)由y，得yx.設M(x3，y3)，由題設知x31，于是M.設直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點為N(1,1m)，|MN|.將yxm代入y，得x22x2m0.由48m>0，得m>，x1,21.從而|AB|x1x2|2.由題設知|AB|2|MN|，即，解得m，所以直線AB的方程為yx.11(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.12已知直線xky30所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.(1)求橢圓C的標準方程(2)已知圓O：x2y21，直線l：mxny1，試證：當點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍解：(1)設橢圓C的方程為1(a>b>0)，直線xky30所經(jīng)過的定點是(3,0)，即點F(3,0)因為橢圓C上的點到點F的最大距離為8，所以a38，a5，所以b2523216，所以橢圓C的方程為1.(2)因為點P(m，n)在橢圓C上，所以1，即n216.又原點到直線l：mxny1的距離d<1，所以直線l：mxny1與圓O：x2y21恒相交則l24(12d2)4，因為5m5，所以l.故直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍為.B組大題專攻補短練1已知拋物線C：x22py(p>0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點 (1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p，SABDp21.p1，故拋物線C的方程為x22y.(2)證明：設直線AB的方程為ykx，由消去y得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，即y，y.拋物線x22py在點A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切2(2018貴陽適應性考試)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M為短軸的上端點，0，過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|.(1)求橢圓C的方程；(2)設經(jīng)過點(2，1)且不經(jīng)過點M的直線l與C相交于G，H兩點若k1，k2分別為直線MH，MG的斜率，求k1k2的值解：(1)由0，得bc.因為過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|，所以.又a2b2c2，聯(lián)立，解得a22，b21，故橢圓C的方程為y21.(2)設直線l的方程為y1k(x2)，即ykx2k1，將ykx2k1代入y21，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由題設可知16k(k2)>0，設G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1x2，x1x2，k1k22k2k(2k1)1，所以k1k21.3(2019屆高三唐山五校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，長為1的線段的兩端點C，D分別在x軸，y軸上滑動， .記點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點(0,1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點，當點M在曲線E上時，求直線l的方程解：(1)設 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點M的坐標為(x1x2，y1y2)易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，所以y1y2k(x1x2)2.由點M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.此時直線l的方程為yx1.4.如圖，橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A，B，且|AB|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點M在橢圓C的內部，過點M的直線l交橢圓C于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，且OPOQ，求直線l的方程及橢圓C的方程解：(1)由已知|AB|BF|，得 a，即4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，所以e.(2)由(1)知a24b2，所以橢圓C的方程可化為1.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，從而kPQ2，所以直線l的方程為y2，即2xy20.聯(lián)立消去y，得17x232x164b20.則3221617(b24)>0b>，x1x2，x1x2.因為OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40，從而40，解得b1，所以橢圓C的方程為y21.綜上，直線l的方程為2xy20，橢圓C的方程為y21.