第1章 立體幾何初步章末檢測試卷(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1下列四個命題中，錯誤的是()A若直線a，b互相平行，則直線a，b確定一個平面B若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線C若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線D兩條異面直線不可能垂直于同一個平面答案C解析C項，兩直線無公共點，這兩直線平行或異面2下列幾何體是旋轉體的是()圓柱；六棱錐；正方體；球體；四面體A B C D答案A3.如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，點N在正方體的底面ABCD內運動，則MN的中點P的軌跡的面積是()A4 B C2 D.答案D解析連接DN，則MDN為直角三角形，在RtMDN中，MN2，P為MN的中點，連接DP，則DP1，所以點P在以D為球心，半徑R1的球面上，又因為點P只能落在正方體上或其內部，所以點P的軌跡的面積等于該球面面積的，故所求面積S4R2.4一個三角形在其直觀圖中對應一個邊長為1的正三角形，原三角形的面積為()A. B. C. D.答案D解析，S直，S原.5設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A. B.C4 D32答案C解析設正方體的棱長為a，由題意可知，6a224，a2.設正方體外接球的半徑為R，則a2R，R，V球R34.6在圓錐VO中，O為底面圓的圓心，A，B為底面圓上兩點，且OAOB，OAVO1，則O到平面VAB的距離為()A. B. C. D.答案B解析由題意，可得三棱錐VAOB的體積為VVAOBSAOBVO.VAB是邊長為的等邊三角形，其面積為()2.設點O到平面VAB的距離為h，則VOVABSVABhhVVAOB，解得h，即點O到平面VAB的距離為.7算數(shù)書竹簡于上世紀八十年代在湖北省張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“禾蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式VL2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式VL2h相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.答案D解析設圓錐的底面半徑為r，則圓錐的底面周長L2r，r，Vr2h.令L2h，得，故選D.8若將一個真命題中的“平面”換成“直線”，“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”，下列四個命題：垂直于同一平面的兩直線平行；垂直于同一平面的兩平面平行；平行于同一直線的兩直線平行；平行于同一平面的兩直線平行其中是“可換命題”的是()A BC D答案A解析對于，由“垂直于同一直線的兩個平面平行”知，是“可換命題”；對于，由“垂直于同一平面的兩平面未必平行”知，不是“可換命題”；對于，由“平行于同一平面的兩個平面平行”知，是“可換命題”；對于，由“平行于同一平面的兩直線未必平行”知，不是“可換命題”綜上所述，選A.9如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()ACC1與B1E是異面直線BAC平面ABB1A1CAE，B1C1為異面直線，且AEB1C1DA1C1平面AB1E答案C解析由已知ACAB，E為BC的中點，得AEBC.又BCB1C1，AEB1C1，C正確10已知直線l平面，直線m平面，有以下四個命題：lm；lm；lm；lm.其中正確的命題是()A BC D答案D解析若，l，則l，又m，所以lm，故正確；若，l，m，則l與m可能異面，所以不正確；若lm，l，則m，又m，則，所以正確；若l，lm，m，則與可能相交，故不正確綜上可知，選D.11.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF，則下列結論中錯誤的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱錐ABEF的體積為定值DAEF的面積與BEF的面積相等答案D解析對D選項，由圖形知，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等，故SAEFSBEF，所以D錯誤12如圖所示，三棱錐ABCD的底面是等腰直角三角形，AB平面BCD，ABBCBD2，E是棱CD上的任意一點，F(xiàn)，G分別是AC，BC的中點，則在下列命題中：平面ABE平面BCD；平面EFG平面ABD；四面體FECG體積的最大值是，真命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D0答案B解析正確，因為AB平面BCD，且AB平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE平面BCD；錯，若兩平面平行，則必有ADEF，而點E是棱CD上任意一點，故該命題為假命題；正確，由已知易得GF平面GCE，且GFAB1，而當E與D重合時，SGCE最大，SGCESBCD1，故VFECGSGCEFG.故正確的命題為，故選B.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.如圖，正方形ABCD的邊長為1，所對的圓心角CDE90，將圖形ABCE繞AE所在直線旋轉一周，形成的幾何體的表面積為_答案5解析由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下面是圓柱，正方形ABCD的邊長為1，CDE90，球的半徑是1，圓柱的底面半徑是1，母線長是1，形成的幾何體的表面積S122114125，故答案為5.14已知平面，和直線m，給出條件：m；m；m；.當滿足條件_時，有m.答案15.如圖，在上、下底面對應邊的比為12的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱CC1的平面A1B1EF，這個平面分三棱臺成兩部分，則_.答案解析設三棱臺的上底面面積為S0，則下底面面積為4S0，高為h，則(S04S02S0)hS0h，S0h.設剩余的幾何體的體積為V，則VS0hS0hS0h，體積之比為34.16如圖，在四面體PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，則PC_.答案7解析取AB的中點E，連接PE.PAPB，PEAB.又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PE平面ABC.連接CE，PECE.ABC90，AC8，BC6，AB2，PE，CE，PC7.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17(10分)在三棱錐SABC中，ABC是邊長為6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB平面DEFH.求四邊形DEFH的面積解如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.易知SGAC，BGAC，SGBGG，SG，BG平面SGB，故AC平面SGB，所以ACSB.因為SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，則SBHD.同理SBFE.又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HF綊AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積SHFHD.18(12分)如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MBNC，MNMB.(1)求證：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求證：BCAC.證明(1)MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB平面DNC.AMND是矩形，MADN，又MA平面DNC，DN平面DNC，MA平面DNC，又MAMBM，且MA，MB平面AMB，平面AMB平面DNC.(2)AMND是矩形，AMMN，平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，AM平面MBCN，BC平面MBCN，AMBC，MCBC，MCAMM，BC平面AMC，AC平面AMC，BCAC.19(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD為梯形，ABCD，AB2DC2，且PAD與ABD均為正三角形，E為AD的中點，G為PAD的重心(1)求證：GF平面PDC；(2)求三棱錐GPCD的體積(1)證明方法一連接AG并延長交PD于點H，連接CH.由梯形ABCD中ABCD且AB2DC知，.又E為AD的中點，G為PAD的重心，.在AHC中，故GFHC.又HC平面PCD，GF平面PCD，GF平面PDC.方法二過G作GNAD交PD于N，過F作FMAD交CD于M，連接MN，G為PAD的重心，GNED.又ABCD為梯形，ABCD，MF，GNFM.又由所作GNAD，F(xiàn)MAD，得GNFM，四邊形GNMF為平行四邊形GFMN，又GF平面PCD，MN平面PCD，GF平面PDC.方法三過G作GKPD交AD于K，連接KF，GK，由PAD為正三角形，E為AD的中點，G為PAD的重心，得DKDE，DKAD，又由梯形ABCD中ABCD，且AB2DC，知，即FCAC，在ADC中，KFCD，又GKKFK，PDCDD，平面GKF平面PDC，又GF平面GKF，GF平面PDC.(2)解方法一由平面PAD平面ABCD，PAD與ABD均為正三角形，E為AD的中點，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，由(1)知GF平面PDC，V三棱錐GPCDV三棱錐FPCDV三棱錐PCDFPESCDF.又由梯形ABCD中ABCD，且AB2DC2，知DFBD，又ABD為正三角形，得CDFABD60，SCDFCDDFsinBDC，得V三棱錐PCDFPESCDF，三棱錐GPCD的體積為.方法二由平面PAD平面ABCD，PAD與ABD均為正三角形，E為AD的中點，知PEAD，BEAD，又平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，且PE3，連接CE，PGPE，V三棱錐GPCDV三棱錐EPCDV三棱錐PCDEPESCDE，又ABD為正三角形，得EDC120，得SCDECDDEsinEDC.V三棱錐GPCDPESCDE3，三棱錐GPCD的體積為.20(12分)如圖1所示的等邊ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC邊的中點現(xiàn)將ABC沿CD折疊，使平面ADC平面BDC，如圖2所示(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；(2)求四面體ADBC的外接球體積與四棱錐DABFE的體積之比解(1)E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，ABEF，AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以DA，DB，DC為棱補成一個長方體，則四面體ADBC的外接球即為長方體的外接球設球的半徑為R，則a2a23a2(2R)2，R2a2，于是球的體積V1R3a3.又VADBCSDBCADa3，VEDFCSDFCADa3，.21(12分)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)證明：BC平面PDA；(2)證明：BCPD；(3)求點C到平面PDA的距離(1)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCAD，因為BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCCD，因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因為PD平面PDC，所以BCPD.(3)解取CD的中點E，連接AE和PE.因為PDPC，所以PECD，在RtPED中，PE.因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知，BC平面PDC，由(1)知，BCAD，所以AD平面PDC，因為PD平面PDC，所以ADPD.設點C到平面PDA的距離為h，因為V三棱錐CPDAV三棱錐PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以點C到平面PDA的距離是.22(12分)如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC2，BC2，M，N分別為BC，AB的中點(1)求證：MN平面PAC；(2)求證：平面PBC平面PAM；(3)在AC上是否存在點E，使得ME平面PAC，若存在，求出ME的長；若不存在，請說明理由(1)證明因為M，N分別為BC，AB的中點，所以MNAC.因為MN平面PAC，AC平面PAC，所以MN平面PAC.(2)證明因為PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，因為ABAC2，M為BC的中點，所以AMBC.因為AMPAA，所以BC平面PAM.因為BC平面PBC，所以平面PBC平面PAM.(3)解存在過點M作MEAC交AC于點E，因為PA平面ABC，ME平面ABC，所以PAME.因為MEAC，ACPAA，所以ME平面PAC.因為在ABC中，ABAC2，BC2，M為BC的中點，所以ME.