命題猜想三命題猜想三不等式與線性規(guī)劃不等式與線性規(guī)劃【考向解讀考向解讀】不等式的性質(zhì)、求解、證明及應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃求最值；(2)不等式相關(guān)的知識可以滲透到高考的各個(gè)知識領(lǐng)域，往往作為解題工具與數(shù)列、函數(shù)、向量相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難度中檔；在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍或在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)經(jīng)常利用不等式進(jìn)行求解，但難度偏高.【命題命題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)突破一一】不等式的解法】不等式的解法1一元二次不等式的解法先化為一般形式 ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與 x 軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集2簡單分式不等式的解法(1)fxgx0(0(0)；(2)fxgx0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.3指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解例 1、 【20 xx 高考新課標(biāo) 1 卷】若101abc，,則()（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc【答案】C【感悟提升】(1)對于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論【變式探究】(1)關(guān)于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集為(x1， x2)， 且 x2x115， 則 a_.(2)已知 f(x)是 R 上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1lnx)|a).(2)若axby1， 則 mxny(mxny)1(mxny)axby manb2 abmn(字母均為正數(shù)).例 2、 【20 xx 高考天津理數(shù)】設(shè)變量 x，y 滿足約束條件20,2360,3290.xyxyxy則目標(biāo)函數(shù)25zxy的最小值為（）（A）4（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】 可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形 ABC 及其內(nèi)部， 其中(0,2), (3,0),(1,3)ABC， 直線z25xy過點(diǎn) B 時(shí)取最小值 6，選 B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤【變式探究】(1)定義運(yùn)算“ ”：x yx2y2xy(x，yR，xy0)，當(dāng) x0，y0 時(shí)，x y(2y) x 的最小值為_.(2)函數(shù) yx1x3 x1的最大值為_.【答案】(1) 2(2)15【解析】(1)由題意，得 x y(2y) xx2y2xy2y2x22yxx22y22xy2 x22y22xy 2，當(dāng)且僅當(dāng)x 2y 時(shí)取等號.(2)令 t x10，則 xt21，所以 ytt213ttt2t4.當(dāng) t0，即 x1 時(shí)，y0；當(dāng) t0，即 x1 時(shí)，y1t4t1，因?yàn)?t4t2 44(當(dāng)且僅當(dāng) t2 時(shí)取等號)，所以 y1t4t115，即 y 的最大值為15(當(dāng) t2，即 x5 時(shí) y 取得最大值).【點(diǎn)評】求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時(shí)往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值.等號能夠取得.【命題命題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)突破三三】簡單的線性規(guī)劃問題】簡單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決例 3、 【20 xx 年高考北京理數(shù)】若x，y滿足2030 xyxyx，則2xy的最大值為（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)yxz 2經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，取最大值，而)2 , 1 (P，所求最大值為 4，故選 C.【感悟提升】(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得【變式探究】若 x，y 滿足約束條件x10，xy0，xy40，則yx的最大值為_.【答案】3【解析】畫出可行域如圖陰影所示，yx表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，點(diǎn)(x，y)在點(diǎn) A 處時(shí)yx最大.由x1，xy40，得x1，y3.A(1,3).yx的最大值為 3.【高考真題解讀】【高考真題解讀】1. 【20 xx 高考新課標(biāo) 1 卷】若101abc，,則()（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc【答案】C2. 【20 xx 高考天津理數(shù)】 設(shè)變量 x， y 滿足約束條件20,2360,3290.xyxyxy則目標(biāo)函數(shù)25zxy的最小值為（）（A）4（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】 可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形 ABC 及其內(nèi)部， 其中(0,2), (3,0),(1,3)ABC， 直線z25xy過點(diǎn) B 時(shí)取最小值 6，選 B.3.【20 xx 高考山東理數(shù)】若變量 x，y 滿足2,239,0,xyxyx +-锍 則22xy+的最大值是（）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】 不等式組表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,22xy表示點(diǎn)（x,y）到原點(diǎn)距離的平方,最大值必在頂點(diǎn)處取到,經(jīng)驗(yàn)證最大值為210OC,故選 C.4.【20 xx 高考浙江理數(shù)】在平面上，過點(diǎn) P 作直線 l 的垂線所得的垂足稱為點(diǎn) P 在直線l 上的投影由區(qū)域200340 xxyxy中的點(diǎn)在直線 x+y2=0 上的投影構(gòu)成的線段記為 AB， 則AB= （）A22B4C32D6【答案】C【解析】如圖PQR為線性區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線20 xy上的投影構(gòu)成了線段 R Q，即AB，而 R QPQ，由3400 xyxy得( 1,1)Q，由20 xxy得(2, 2)R，22( 12)(12)3 2 ABQR故選 C5.【20 xx 年高考北京理數(shù)】若x，y滿足2030 xyxyx，則2xy的最大值為（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)yxz 2經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，取最大值，而)2 , 1 (P，所求最大值為 4，故選 C.6.【20 xx 年高考四川理數(shù)】設(shè) p：實(shí)數(shù) x，y 滿足22(1)(1)2xy，q：實(shí)數(shù) x，y 滿足1,1,1,yxyxy 則 p 是 q 的()（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】畫出可行域（如圖所示） ，可知命題q中不等式組表示的平面區(qū)域ABC在命題p中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選 A.7.【20 xx 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】若, x y滿足約束條件1020220 xyxyxy 則zxy的最大值為_.【答案】328. 【20 xx 高考新課標(biāo) 1 卷】 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品 A 和產(chǎn)品 B 需要甲、 乙兩種新型材料 生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 的利潤為 2100 元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 的利潤為 900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150kg,乙材料 90kg,則在不超過 600 個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品B 的利潤之和的最大值為元【答案】216000【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為x、y件,利潤之和為z元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy目標(biāo)函數(shù)2100900zxy.二元一次不等式組等價(jià)于3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy 3作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將2100900zxy變形,得73900zyx ,平行直線73yx ,當(dāng)直線73900zyx 經(jīng)過點(diǎn)M時(shí),z取得最大值.解方程組10390053600 xyxy,得M的坐標(biāo)(60,100).所以當(dāng)60 x ,100y 時(shí),max2100 60900 100216000z.故生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為216000元.9.【20 xx 高考江蘇卷】 已知實(shí)數(shù), x y滿足240220330 xyxyxy，則22xy的取值范圍是.【答案】4 ,135【解析】由圖知原點(diǎn)到直線220 xy距離平方為22xy最小值，為224()55，原點(diǎn)到點(diǎn)(2,3)距離平方為22xy最大值，為13，因此22xy取值范圍為4 ,1351.(20 xx重慶卷)“x1”是“l(fā)og12(x2)0”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件解析由 x1x23log12(x2)0，log12(x2)0 x21x1，故“x1”是“l(fā)og12(x2)0”成立的充分不必要條件.因此選 B.答案B2.(20 xx北京卷)若 x，y 滿足xy0，xy1，x0，則 zx2y 的最大值為()A.0B.1C.32D.2解析可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為 y12x12z，當(dāng)直線 y12x12z 過點(diǎn) A(0，1)時(shí)，z 取得最大值 2.答案D3.(20 xx陜西卷)設(shè) f(x)ln x，0ab，若 pf ( ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.qrpB.qrpC.prqD.prq解析0ab，ab2 ab，又f(x)ln x 在(0，)上為增函數(shù)，故 fab2f( ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)12ln a12ln bln(ab)12f( ab)p.故 prq.選 C.答案C4.(20 xx全國卷)若 x，y 滿足約束條件x10，xy0，xy40，則yx的最大值為_.解析約束條件的可行域如圖，由yxy0 x0，則最大值為 3.答案35.(20 xx四川卷)如果函數(shù) f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在區(qū)間12，2上單調(diào)遞減，那么 mn 的最大值為()A.16B.18C.25D.812解析令 f(x)(m2)xn80，xn8m2，當(dāng) m2 時(shí)，對稱軸 x0n8m2，由題意，n8m22，2mn12， 2mn2mn26，mn18，由 2mn12 且 2mn 知 m3，n6，當(dāng) m2 時(shí)，拋物線開口向下，由題意n8m212，即 2nm18， 2mn2nm29，mn812，由 2nm18 且 2nm，得 m9(舍去)，mn 最大值為 18，選 B.答案B6.(20 xx山東卷)已知x， y滿足約束條件xy0，xy2，y0，若zaxy的最大值為4， 則a()A.3B.2C.2D.3答案B7.(20 xx天津卷)設(shè) xR，則“|x2|1”是“x2x20”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由|x2|1 得 1x3，由 x2x20，得 x2 或 x1，而 1x3x2 或 x1，而 x2 或 x11x3，所以，“|x2|1”是“x2x20”的充分而不必要條件，選 A.答案A8.(20 xx廣東卷)若變量 x，y 滿足約束條件4x5y8，1x3，0y2，則 z3x2y 的最小值為()A.315B.6C.235D.4解析不等式組所表示的可行域如下圖所示，由 z3x2y 得 y32xz2，依題意當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線 l：y32xz2經(jīng)過 A1，45 時(shí)，z取得最小值，即 zmin31245235，故選 C.答案C9.(20 xx浙江卷)已知函數(shù) f(x)x2x3，x1，lg（x21） ，x1，則 f(f(3)_， f(x)的最小值是_.