5立體幾何1【浙江卷】已知四棱錐SABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為1，SE與平面ABCD所成的角為2，二面角SABC的平面角為3，則A. 123 B. 321 C. 132 D. 231【答案】D從而因?yàn)椋约?，選D.點(diǎn)睛：線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面. 2【浙江卷】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】分析:先還原幾何體為一直四棱柱，再根據(jù)柱體體積公式求結(jié)果.詳解：根據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上下底分別為1，2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為選C.點(diǎn)睛：先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等.3【理新課標(biāo)I卷】已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A. B. C. D. 【答案】A詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.+4【理新課標(biāo)I卷】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，點(diǎn)M在上底面上，點(diǎn)N在下底面上，并且將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.詳解：根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.5【全國卷理】設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A. B. C. D. 【答案】B詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，此時，,點(diǎn)M為三角形ABC的重心，中，有，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型。6【理數(shù)全國卷II】在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D. 【答案】C點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.7【理數(shù)天津卷】已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為_.【答案】點(diǎn)睛：本題主要考查四棱錐的體積計(jì)算，空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8【江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_【答案】【解析】分析：先分析組合體的構(gòu)成，再確定錐體的高，最后利用錐體體積公式求結(jié)果.詳解：由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為點(diǎn)睛：解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決9【理數(shù)全國卷II】已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_【答案】點(diǎn)睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識點(diǎn)，考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力.10【浙江卷】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）證明：AB1平面A1B1C1；（）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）見解析（）（）由得，所以.故.由， 得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.方法二：（）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：因此由得.由得.所以平面.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.11【理數(shù)天津卷】如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；（II）求二面角的正弦值；（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長.【答案】()證明見解析；()；().詳解：依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，1），N（1，0，2）（）依題意=（0，2，0），=（2，0，2）設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n0=（1，0，1）又=（1，1），可得，又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN平面CDE（）設(shè)線段DP的長為h（h0，2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，故，由題意，可得=sin60°=，解得h=0，2所以線段的長為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，線面平行的證明，二面角問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12【理北京卷】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交【答案】(1)證明見解析(2) B-CD-C1的余弦值為(3)證明過程見解析（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如圖建立空間直角坐稱系E-xyz由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1），設(shè)平面BCD的法向量為，令a=2，則b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量為，由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為（）平面BCD的法向量為，G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），與不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，GF與平面BCD相交點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.13【江蘇卷】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.詳解：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz因?yàn)锳B=AA1=2，所以所成角的正弦值為點(diǎn)睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.14【江蘇卷】在平行六面體中，求證：（1）；（2）【答案】答案見解析詳解：證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC又因?yàn)锳1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC點(diǎn)睛：本題可能會出現(xiàn)對常見幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無法得到運(yùn)用或者運(yùn)用錯誤，如柱體的概念中包含“兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形”，再如菱形對角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件，缺少對這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無法證明.15【理新課標(biāo)I卷】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析.(2) . (2)結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果.詳解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，又，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足為H.由（1）得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.則 為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面角的正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果；對于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來完成，注意相對應(yīng)的等量關(guān)系即可.16【全國卷理】如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值【答案】（1）見解析（2）詳解：（1）由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問主要考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，屬于中檔題。17【理數(shù)全國卷II】如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析（2）詳解：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且.連結(jié).因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且?由知.由知平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.優(yōu)質(zhì)模擬試題18【安徽省宿州市三?！咳鐖D所示，垂直于所在的平面，是的直徑，是上的一點(diǎn)，分別是點(diǎn)在，上的投影，當(dāng)三棱錐的體積最大時，與底面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D詳解：設(shè)，由題意可知，設(shè)與底面所成的角為，則，由圓的性質(zhì)可知：，由線面垂直的定義可知：，結(jié)合線面垂直的判斷定理可得：平面，則，結(jié)合可知平面，據(jù)此有，則，由平面可知，結(jié)合可得平面，則.在中，利用面積相等可得：，在中，則， ，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知，當(dāng)，即時三棱錐的體積最大，此時.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查線面垂直的定義與判斷定理，均值不等式的應(yīng)用，立體幾何中的最值問題，三棱錐的體積公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19【遼寧省葫蘆島市二?！吭陂L方體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱為矩形內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)，為中點(diǎn)，為空間任一點(diǎn)且，三棱錐的體積的最大值記為，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論確的是（ ）A. 為奇函數(shù) B. 在上不單調(diào)；C. D. 【答案】D詳解：在長方體中，為中點(diǎn)， 為矩形內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)， 即 ，則在以為球心的球面上，而到面的距離為，則 由此可知A,B,C選項(xiàng)都不正確，而.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了空間幾何體中的最值問題，關(guān)鍵是列出式子，轉(zhuǎn)化為距離問題，借助函數(shù)求解即可，屬于難題 20【河南省洛陽市三?！吭谌忮F中，平面，是邊上的一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B 由勾股定理得 三棱錐的外接球的表面積是 故選B.點(diǎn)睛：本題考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵求外接球的半徑，是中檔題21【四川省沖刺演練（一）】某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.22【安徽省示范高中（皖江八校）第八聯(lián)考】某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A， 故三棱錐外接球的半徑 ，表面積為.故選A.點(diǎn)睛：本題考查了三棱錐的性質(zhì)、空間幾何位置關(guān)系、三垂線定理、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題23【山東省濟(jì)南二模】已知點(diǎn)均在表面積為的球面上,其中平面,則三棱錐的體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由球的表面積明確半徑，利用條件,明確的外接圓半徑，進(jìn)而得到外接球半徑與的外接圓半徑及的關(guān)系，表示三棱錐的體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值即可點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點(diǎn)問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般內(nèi)切球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于內(nèi)切球的性質(zhì)，球心到各面距離相等計(jì)算即可，當(dāng)球心位置不好確定時，可以用等體積法求球半徑.24【福建省廈門市二?！恳阎痴忮F的側(cè)棱長大于底邊長，其外接球體積為，三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為（ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】D【解析】分析：根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可得球心在正三棱錐的高上，由正棱錐的性質(zhì)可得頂點(diǎn)在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱錐的高，從而可得結(jié)果.詳解：設(shè)正三棱錐外接球的半徑為，則，由三視圖可得底面邊長為，底面正三角形的高為，底面三角形外接圓半徑為，由勾股定理得，得，側(cè)視圖面積為 ，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐外接球問題，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；若面（），則（為外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；特殊幾何體可以直接設(shè)出球心和半徑，列方程求解.25【山東省威海市二?！恳阎庵瑐?cè)面的面積為，則該正三棱柱外接球表面積的最小值為_.【答案】.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查幾何體的外接球問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象能力.(2) 求幾何體外接球的半徑一般有兩種方法:模型法和解三角形法.模型法就是把幾何體放在長方體中，使幾何體的頂點(diǎn)和長方體的若干個頂點(diǎn)重合，則幾何體的外接球和長方體的外接球是重合的，長方體的外接球的半徑就是幾何體的外接球半徑.如果已知中有多個垂直關(guān)系，可以考慮用此種方法.解三角形法就是找到球心和截面圓的圓心，找到、球的半徑、截面圓的半徑確定的,再解求出球的半徑.26【山東省煙臺市適應(yīng)性練習(xí)（二）】如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，為圓上的點(diǎn)， 分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以為折痕折起 ，使重合得到一個四棱錐，則該四棱錐的體積的最大值為_. 【答案】.所以.體積最大值為故答案為：.點(diǎn)睛：求實(shí)際問題中的最大值或最小值時，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果要與實(shí)際情況相結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大（?。┲禃r，如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn).27【湖南省益陽市5月統(tǒng)考】如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，平面平面，且與棱，分別交于，三點(diǎn).（1）過作直線，使得，請寫出作法并加以證明；（2）若將三棱錐分成體積之比為8：19的兩部分，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）詳解：（1）作法：取的中點(diǎn)，連接，則直線即為要求作的直線.證明如下：，且，平面.平面平面，且平面，平面平面，平面，.又，為的中點(diǎn)，則，從而直線即為要求作的直線.（2）將三棱錐分成體積之比為8：19的兩部分，四面體的體積與三棱錐的體積之比為8:27，又平面平面，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.則.故直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性垂直的證明，空間幾何體的體積，運(yùn)用空間向量求線面角的正弦值，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題。28【江西省南昌市三模】如圖，多面體中，為正方形，二面角的余弦值為，且.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）. 詳解：（1）證明：，由勾股定理得：,又正方形中，且,平面，又面，平面平面（2）由（1）知是二面角的平面角,作于，則且由平面平面，平面平面，面,所以，面,取中點(diǎn)，連結(jié)，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則,又，知的一個方向向量設(shè)面法向量，則,取，得又面一個法向量為：設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則點(diǎn)睛：本題考查直線與平面垂直的判斷，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力計(jì)算能力29【河南省鄭州市三模】如圖，在四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（）證明：；（）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值【答案】（）證明見解析；（）.可得，然后結(jié)合圖形可得所求詳解：（）證明：底面， 平面，面，又，兩兩垂直以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則由題意得，面角的余弦值為點(diǎn)睛：用坐標(biāo)法解答立體幾何問題的幾個注意點(diǎn)：（1）建立空間直角坐標(biāo)系時首先要判斷是否滿足條件，即是否有三條兩兩垂直的直線；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)時一定要準(zhǔn)確，對于不容易求的點(diǎn)的坐標(biāo)，可根據(jù)向量的共線等方法求解；（3）求二面角的余弦值時，在求得兩平面法向量夾角的余弦值后，還要根據(jù)圖形判斷出二面角為銳角還是鈍角，最后再下結(jié)論30【河北省唐山市三模】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，.（1）求證：平面平面；（2）若，為的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析.(2) .詳解：（1）ABCD，PCCD，ABPC，ABAC，ACPCC，AB平面PAC，ABPA，又PAAD，ABADA，PA平面ABCD，PA平面PAB，平面PAB平面ABCD （2）連接BD交AE于點(diǎn)O，連接OF，E為BC的中點(diǎn)，BCAD，PD平面AEF，PD平面PBD，平面AEF平面PBDOF，PDOF， 以AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，二面角A-DF-E為鈍二面角，二面角A-DF-E的余弦值為 點(diǎn)睛：本題主要考查利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.