第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 考綱傳真1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第69頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1等差數(shù)列的概念(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an1and(nN，d為常數(shù))，或anan1d(n2，d為常數(shù))(2)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，即A.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1)D通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(m，nN)，(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d(其中nN，a1為首項(xiàng)，d為公差，an為第n項(xiàng))3等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和(1)若mnpq(m，n，p，qN)，則有amanapaq.(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)d0時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是遞減數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是常數(shù)列(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù))知識(shí)拓展1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，若a10，d0，則Sn有最大值，即所有正項(xiàng)之和最大，若a10，d0，則Sn有最小值，即所有負(fù)項(xiàng)之和最小2兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則有.3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()答案(1)×(2)(3)(4)×2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a30，則公差d等于()A1B1C2D2D依題意得S33a26，即a22，故da3a22，故選D3(20xx·全國(guó)卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A5B7 C9D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.4(20xx·全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100B99 C98D97C法一：an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.故選C法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a100a5(201)×598.故選C5(教材改編)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有_個(gè)能被6整除的數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090161】16由題意知，能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an，則a16，d6，得an6(n1)66n.由an6n100，即n1616，則在100以內(nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第70頁(yè))等差數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(20xx·鄭州模擬)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10()ABC10D12(2)(20xx·昆明模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S1122，a412，若am30，則m() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090162】A9B10 C11D15(1)B(2)B(1)公差為1，S88a1×18a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意解得ama1(m1)d7m4030，m10.規(guī)律方法1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用2數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法變式訓(xùn)練1(1)(20xx·婁底模擬)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為d(dN*)的等差數(shù)列，若81是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則公差不可能是()A2B3 C4D5(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a128，S99，則S16_.(1)B(2)72(1)數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為d(dN*)的等差數(shù)列，an1(n1)d，81是該數(shù)列中的一項(xiàng)，811(n1)d，n1，d，nN*，d是80的因數(shù)，故d不可能是3.故選B(2)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得解得S1616×3×(1)72.等差數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列(2)求數(shù)列an中的通項(xiàng)公式an.解(1)證明：因?yàn)閍n2(n2，nN*)，bn.所以n2時(shí)，bnbn11.5分又b1，所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.7分(2)由(1)知，bnn，9分則an11.12分規(guī)律方法1.等差數(shù)列的四種判斷方法：(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(解答題)(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(解答題)(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(小題)(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列(小題)2用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用兩個(gè)式子an1and和anan1d，但它們的意義不同，后者必須加上“n2”，否則n1時(shí)，a0無定義變式訓(xùn)練2(1)若an是公差為1的等差數(shù)列，則a2n12a2n是()A公差為3的等差數(shù)列B公差為4的等差數(shù)列C公差為6的等差數(shù)列D公差為9的等差數(shù)列(2)在數(shù)列an中，若a11，a2，(nN*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為()AanBanCanDan(1)B(2)A(1)anna11a2n12na12，a2n2na11a2n12a2n4n2a13因此數(shù)列a2n12an是公差為4的等差數(shù)列，故選B(2)由已知式可得，知是首項(xiàng)為1，公差為211的等差數(shù)列，所以n，即an.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(1)(20xx·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2a75a9，則S9的值為()A27B36 C45D54(2)(20xx·洛陽統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A63B45 C36D27(3)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12 014，6，則S2 017_.(1)C(2)B(3)4 034(1)由2a75a9得a5a95a9，所以a55，所以S99a545.(2)由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945，故選B(3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列設(shè)其公差為D則6d6，d1.故2 016d2 0142 0162，S2 0172×2 0174 034.規(guī)律方法應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)在等差數(shù)列an中，若mnpq2k(m、n、p、q、kN*)，則amanapaq2ak是常用的性質(zhì)(2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個(gè)性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項(xiàng)數(shù)、序號(hào)、項(xiàng)的值的特征，這是解題的突破口變式訓(xùn)練3(1)在等差數(shù)列an中，a3a927a6，Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S11()A18B99 C198D297(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S510，S1030，則S15()A60B70 C90D40(3)(20xx·佛山模擬)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090163】(1)B(2)A(3)10(1)由a3a927a6得2a627a6，所以a69所以S1111a699.(2)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差數(shù)列，設(shè)S15x，則10,20，x30成等差數(shù)列，所以2×2010(x30)，所以x60，即S1560.(3)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值(1)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n10(nN*)，則|a1|a2|a15|_.(2)等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn取得最大值(1)130由an2n10(nN*)知an是以8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an2n100得n5，n5時(shí)，an0，當(dāng)n5時(shí)，an0，|a1|a2|a15|S152S5130.(2)法一：由S3S11，可得3a1d11a1d，4分即da1.7分從而Snn2n(n7)2a1，因?yàn)閍1>0，所以<0.9分故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大.12分法二：由法一可知，da1.要使Sn最大，則有5分即9分解得6.5n7.5，故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大.12分法三：由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，5分故a7a80，又由a1>0，S3S11可知d<0，9分所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n7時(shí)，Sn最大.12分規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法1函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解2鄰項(xiàng)變號(hào)法：(1)當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；(2)當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.變式訓(xùn)練4(1)(20xx·孝義模擬)在等差數(shù)列an中，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n項(xiàng)和，則使Sn達(dá)到最大值的n是()A21B20 C19D18(2)已知等差數(shù)列an的前三項(xiàng)和為3，前三項(xiàng)的積為8.求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090164】B(1)因?yàn)閍1a3a53a3105，a2a4a63a499，所以a335，a433，所以d2，a139.由ana1(n1)d392(n1)412n0，解得n，所以當(dāng)n20時(shí)Sn達(dá)到最大值，故選B(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12D由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列3n7的前n項(xiàng)和為Sn，則Snn2n當(dāng)n2時(shí)，Tn|a1|a2|an|(a1a2an)n2n當(dāng)n3時(shí)，Tn|a1|a2|a3|an|(a1a2)(a3a4an)Sn2S2n2n10綜上知：Tn