第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系(對應(yīng)學(xué)生用書第82頁)基礎(chǔ)知識填充1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列用符號表示為an1and(nN，d為常數(shù))(2)等差中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，即A.2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，anam(nm)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1.3等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差為md的等差數(shù)列4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值；若a10，d0，則Sn存在最小值知識拓展an為等差數(shù)列，Sn是an前n項(xiàng)和(1)若anm，amn，則amn0，(2)若Smn，Snm，則Smn(mn)，(3)若SmSk(mk)，則Smk0.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()(5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)()答案(1)×(2)(3)(4)×(5)×2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a30，則公差d等于()A1B1C2D2D依題意得S33a26，即a22，故da3a22，故選D3在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6等于()A1B0C1D6B由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a62a4a22×240，選B4(20xx·全國卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A5B7C9D11Aa1a3a53a33a31，S55a35.5(教材改編)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8_.180由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.(對應(yīng)學(xué)生用書第82頁)等差數(shù)列的基本運(yùn)算(1)(20xx·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4D8(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a128，S99，則S16_. 【導(dǎo)學(xué)號：79140171】(1)C(2)72(1)設(shè)an的公差為d，則由得解得d4.故選C(2)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得解得所以S1616×3×(1)72. 規(guī)律方法解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d，通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”.(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·云南省二次統(tǒng)一檢測)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S1122，a412，若am30，則m()A9B10C11D15(2)張邱建算經(jīng)卷上第22題為：今有女善織，日益功疾(注：從第2天起每天比前一天多織相同量的布)，第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))，共織390尺布，則第2天織布的尺數(shù)為()ABCD(1)B(2)A(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意解得ama1(m1)d7m4030，m10.(2)由條件知該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an，且a15，S30390，設(shè)公差為d，則30×5×d390，解得d，則a2a1d，故選A等差數(shù)列的判定與證明(20xx·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列解(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得q2，a12.故an的通項(xiàng)公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列規(guī)律方法等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列.可用來判定與證明.(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN)an是等差數(shù)列.可用來判定與證明.(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練(1)在數(shù)列an中，若a11，a2，(nN)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為()AanBanCanDan(2)已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN)，數(shù)列bn滿足bn(nN)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列求數(shù)列an中的通項(xiàng)公式an.(1)A由已知式可得，知是首項(xiàng)為1，公差為211的等差數(shù)列，所以n，即an.(2)證明：因?yàn)閍n2(n2，nN)，bn.所以n2時(shí)，bnbn11.又b1，所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列由(1)知，bnn，則an11.等差數(shù)列的性質(zhì)及最值(1)(20xx·東北三省三校二聯(lián))等差數(shù)列an中，a1a3a539，a5a7a927，則數(shù)列an的前9項(xiàng)的和S9等于()A66B99C144D297(2)在等差數(shù)列an中，已知a110，前n項(xiàng)和為Sn，若S9S12，則Sn取得最大值時(shí)，n_，Sn的最大值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：79140172】(1)B(2)10或1155(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1a3a53a339，可得a313.由a5a7a93a727，可得a79，故S999，故選B(2)法一：因?yàn)閍110，S9S12，所以9×10d12×10d，所以d1.所以ann11.所以a110，即當(dāng)n10時(shí)，an0，當(dāng)n12時(shí)，an0，所以當(dāng)n10或11時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S10S1110×10×(1)55.法二：同法一求得d1.所以Sn10n·(1)n2n.因?yàn)閚N，所以當(dāng)n10或11時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S10S1155.法三：同法一求得d1.又由S9S12得a10a11a120.所以3a110，即a110.所以當(dāng)n10或11時(shí)，Sn有最大值且最大值為S10S1155.規(guī)律方法1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman(mn)dd(mn)，其幾何意義是點(diǎn)(n，an)，(m，am)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2nn(a1a2n)n(anan1).S2n1(2n1)an.2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Snan2bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項(xiàng)變號法.當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm.當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.易錯(cuò)警示：易忽視nN.跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則()A1B1C2D(2)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S1016，S100S9024，則S100_.(1)A(2)200×1.(2)依題意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d10×16×200.