課時規(guī)范練21平面向量的概念及其線性運算一、選擇題1.如圖,e1,e2為互相垂直的單位向量,則向量a-b可表示為() A.3e2-e1B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2答案:C解析:如圖所示,a-b=e1-3e2. 2.如圖,D,E,F分別是ABC的邊AB,BC,CA的中點,則() A.=0B.=0C.=0D.=0答案:A解析:,=0.3.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是()A.矩形B.平行四邊形C.梯形D.以上都不對答案:C解析:=-8a-2b=2(-4a-b)=2.,又不平行,四邊形ABCD是梯形.4.非零向量不共線,且2=x+y,若=(R),則點Q(x,y)的軌跡方程是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0答案:A解析:由=,得=(),即=(1+)-.又2=x+y,消去得x+y=2.5.在ABC所在平面上有一點P,滿足,則PAB與ABC的面積之比是()A.B.C.D.答案:A解析:,=2,A,P,C三點共線,且P為AC的三等分點,.來源:6.設(shè)D,E,F分別是ABC的三邊BC,CA,AB上的點,且=2=2=2,則向量()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直答案:A解析:由題意,得.又=2,所以=2().所以.同理,得.將以上三式相加,得=-.二、填空題7.若|=8,|=5,則|的取值范圍為. 答案:3,13解析:|=|,|-|+|.3|13.8.已知=a,=b,=,則=. 答案:a+b解析:)=a+(b-a)=a+b.9.在平行四邊形ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點,則=.(用a,b表示) 答案:(b-a)解析:如圖所示,連接BD,設(shè)BD與AC交于點O.由=3可知N為OC的中點.又M是BC的中點,)=(b-a).10.若點O是ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足|=|-2|,則ABC的形狀為. 答案:直角三角形解析:-2,|=|,故A,B,C為矩形的三個頂點,ABC為直角三角形.11.如圖,在ABC中,點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若=m=n,則m+n的值為. 答案:2解析:O是BC的中點,).又=m=n,.M,O,N三點共線,=1.則m+n=2.三、解答題12.如圖,在正方形ABCD中,點E是DC的中點,點F是BC的一個三等分點,求(用向量表示). 解:在CEF中,有,因為點E為DC的中點,所以.因為點F為BC的一個三等分點,所以.所以.來源:13.已知ABC中,=a,=b,對于平面ABC上任意一點O,動點P滿足+a+b,則動點P的軌跡是什么?其軌跡是否過定點,并說明理由.來源:解:依題意,由+a+b,得=(a+b),即=().如圖,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,對角線交于O,則=,A,P,D三點共線,即P點的軌跡是AD所在的直線,由圖可知P點軌跡必過ABC邊BC的中點.14.已知點O為ABC外接圓的圓心,且=0,求ABC的內(nèi)角A.解:由=0得,由O為ABC外接圓的圓心,結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形,且CAO=60°.故BAC=CAO=30°.來源:15.在ABC中,E,F分別為AC,AB的中點,BE與CF相交于G點,設(shè)=a,=b,試用a,b表示.解:=+)=)=(1-)=(1-)a+b.又+m)=(1-m)a+(1-m)b,解得=m=,a+b.四、選做題1.如圖,在ABC中,點D是BC邊上靠近B的三等分點,則=()A.B.C.D.答案:C解析:由平面向量的三角形法則,可得.又因為點D是BC邊上靠近B的三等分點,所以,)=.2.已知兩個不共線的向量的夾角為,且|=3.若點M在直線OB上,且|的最小值為,則的值為. 答案:解析:如圖,作向量,則,其中點N在直線AC上變化,顯然當(dāng)ONAC時,即點N到達(dá)H時,|有最小值,且OAH=,從而sin =,故=或=(根據(jù)對稱性可知鈍角也可以).來源:3.如圖,已知點G是ABC的重心,過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點,且=x=y,求證:=3.證明:因為點G是ABC的重心,知=0,得-+()+()=0,有).又M,N,G三點共線(A不在直線MN上),于是存在,使得=+(且+=1),有=x+y),得于是得=3.