2019-2020年北師大版高中數(shù)學（必修5）2.3《解三角形的實際應(yīng)用舉例》（文）word教案 【本講教育信息】 一、教學內(nèi)容： 三角形中的幾何計算及實際應(yīng)用舉例 二、教學目標 （1）體會用正弦定理、余弦定理處理三角形中的計算問題。 （2）能靈活的運用正弦定理、余弦定理解決測量、航海、臺風預(yù)報等有關(guān)的實際問題，體會建立三角函數(shù)模型的思想。 （3）結(jié)合正弦定理、余弦定理等體會用方程的數(shù)學思想、分論討論的數(shù)學思想等解決實際問題。 三、知識要點分析： 1. 三角形中的幾何計算的有關(guān)知識點（三角形中的邊和角的關(guān)系：） （i）大角對大邊： （ii）正弦定理：，（R是三角形外接圓的半徑） （iii）余弦定理： （iv）三角形的面積 S△ABC 2. 解決實際問題的有關(guān)知識點 （1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。 （2）方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的夾角叫方位角。 （3）解決實際問題的步驟。 （i）理解題意分清已知與未知。（ii）畫圖建模利用正、余弦定理等知識點求解。（iii）作答。 3. 掌握三角形內(nèi)角誘導公式及相關(guān)的結(jié)論，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii） （iii） 【典型例題】 考點一：三角形中的幾何計算 例1. 設(shè)D是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點，AB=AD，。 （1）求證：，（2）若求的值。 思路分析：（1）由已知找出與的關(guān)系，即，即可證明。（2）由正弦定理得到關(guān)于的方程即可。 解：（1）由AB=AD . ① （2）由正弦定理得： 將此式代入①得： ② 將②整理得： 又 故。即所求的角是 例2. 設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)一點，P到A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形ABCD的邊長 思路分析：設(shè)正方形的邊長為x，根據(jù)角ABP與角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立關(guān)于x的方程，再求解 解：設(shè)邊長是x，（1<x<3）， ，則=90－α 在三角形ABP中：由余弦定理得：， 同理在△CBP中： ，90得： 即有： （*） 解*得所求的邊長為。 說明：使用正弦定理或余弦定理或相關(guān)的知識點解決幾何問題，首先要在已知的圖形中構(gòu)造三角形（已有三角形，不需構(gòu)造），能構(gòu)造特殊三角形的盡可能地構(gòu)造特殊的三角形。 考點二：研究幾何計算問題中的最值問題。 如圖所示，點P在直徑AB=1的半圓上移動，過點P作半圓的切線PT，使PT=1，則如何確定P點的位置？才能使得四邊形ABTP的面積最大？ 思路分析：由已知得P點的變化引起角PAB的變化，故可把四邊形ABTP的面積表示成關(guān)于角PAB的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值。 解：連接BP，設(shè)∠PAB＝α，由AB為直徑得∠APB＝90，即△APB是直角三角形， 由AB=PT=1得：。又PT是圓的切線，故，∠BPT＝∠PAB＝α 例4. 在等邊三角形ABC中，AB=a，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N， 求的最大值。 思路分析：由于M、N的變化導致角MOA的變化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函數(shù)，再求最大值。 解：由已知∠MAO=∠NAO＝30，設(shè)∠MOA＝θ，則 故當時，即時，取得最大值是。 【說明】在三角形幾何計算中解決最值問題的關(guān)鍵是引入變量。 考點三：利用正弦定理、余弦定理解決實際問題 例5. （1）（航海問題）已知一測高儀表失靈的飛機在高空以300km/h的速度按水平方向向東飛行，飛機的航線和山頂C在同一鉛直的平面內(nèi)，若在A處的飛行員利用測角儀器測得先看到海拔高度為4000m的山頂C的俯角為15，經(jīng)120秒后在B點又看到山頂C的俯角是60，求飛機現(xiàn)在的海拔高度。 思路分析：先根據(jù)已知條件畫出圖形，找出兩個俯角，再根據(jù)正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飛機現(xiàn)在的海拔高度。 解：根據(jù)已知畫出圖形（如圖）∠BAC=15，∠DBC=60，故∠BCA=45 又AB=300=10（km），則在△ABC中由正弦定理得： 在直角△BDC中：CD=BCsin60= 故飛機飛行的海拔高度是3170+4000=7170（米） （2）某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在方位角45，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105的方向，以每小時9海里的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以每小時21海里的速度前去營救，求艦艇的航向及靠近漁輪的時間。 思路分析：根據(jù)題意先畫出圖形，設(shè)艦艇收到信號后x小時在B處靠攏漁輪，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得艦艇的航向。 解：設(shè)艦艇收到信號x小時在B處與漁輪靠攏，則AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB= 120 在△ABC中，由余弦定理得：120 整理得：，由正弦定理可求∠BAC≈ 21.8， 答：艦艇沿方位角（45+21.8）的方向航行40min 可靠近漁輪。 例6. （測量問題）欲測量河對岸兩點P，Q之間的距離，應(yīng)如何測量？ 思路分析：可以在岸邊選定距離為a的兩個觀測點A，B，然后測出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。 解：選定距離為a的兩個觀測點A，B。利用測角儀器測得：∠BAP=∠BAQ=，∠ABQ= ∠ABP=，則由正弦定理得：， 同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得： 例7. （臺風問題）某城市附近的海面上有一股臺風，臺風中心位于城市O的南偏東方向300km海面的P處，并以每小時20km/h的速度向北偏西45的方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當時半徑是60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市受到臺風的侵襲 思路分析：設(shè)經(jīng)過x小時該城市恰好受到臺風的侵襲，假設(shè)臺風中心由P移到Q處（如圖），此時臺風的侵襲半徑是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立關(guān)于x的方程求x。 解：設(shè)x小時后該城市恰好受到臺風的侵襲，此時臺風中心由P處移到Q處，臺風的侵襲半徑是（60+10x）km，城市O恰好受到臺風侵襲的條件是OQ=60+10x 在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，∠OPQ=－45，cos∠OPQ=cos（－45） =， 由余弦定理得： 故方程無解，即該城市不會受到臺風的影響。 【本講涉及的數(shù)學思想、方法】 本講主要講述了利用正弦定理、余弦定理及其相關(guān)的知識解決三角形中的幾何計算及實際問題，在此過程中，體現(xiàn)了方程的數(shù)學思想（如例1、例2）、函數(shù)的數(shù)學思想（如求最值問題）、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等在解題中的應(yīng)用。 預(yù)習導學案 （不等關(guān)系及一元二次不等式的解法） 一：預(yù)習前知 1. 在初中你學過不等式有哪些性質(zhì)？ 2. 解一元一次不等式的步驟有哪些？ 3. 解關(guān)于x的不等式：ax>b (a,b是實數(shù)) 4. 二次函數(shù)的關(guān)系是什么？ 二：預(yù)習導學 探究、反思 探究反思的任務(wù)：不等關(guān)系、一元二次不等式的解法 1、舉例說明在現(xiàn)實生活中的不等關(guān)系。 【反思】比較兩個實數(shù)大小的方法有哪些？（作差比較，作商比較） a-b>0 2、不等式的性質(zhì)有哪些？ 傳遞性_________，(2)加法單調(diào)性_________，（3）乘法單調(diào)性_________。（4）同向不等式相加______________（5）兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘_____________。 【反思】由上面的性質(zhì)你能證明：a>b>0,嗎？ 3、一元二次不等式的定義：_____________________________________________。 4、一元二次不等式的解法的步驟有_______________________________________。 【反思】（1）你能畫出解一元二次不等式的解法的程序框圖嗎？ （2）對不等式，若方程 三種情形中，如何表示不等式的解集？ 5、分式不等式的解法思想是___________________________________________ 【反思】分式不等式可化為不等式組________________ 6、一元高次不等式的解法思想是__________________________________________ 簡述用穿針引線法求一元高次不等式的解集的方法。 【反思】：在利用穿針引線法求一元高次不等式的解集的過程中，若出現(xiàn)因式，應(yīng)如何處理？ 【模擬試題】（答題時間：70分鐘） 一、選擇題： 1. 在△ABC中，已知a=1，b=，∠A=30，B為銳角，則角A，B，C的大小關(guān)系是（　?。? A. A>B>C B. B>A>C C. C>B>A D. C>A>B *2. 在△ABC中，角A，B滿足：sin=sin，則三邊a，b，c必滿足（ ） A. a=b B. a=b=c C. a+b=2c D. 3. 如圖，D，C，B三點在一條直線上，DC=a，從C，D兩點測得A點的仰角是，（）則A點離地面的高度AB 等于（ ） 4. 在三角形ABC中，下列等式總能成立的是（ ） A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA *5. 某人向正東方向走x千米后，他向右轉(zhuǎn)150，然后朝新的方向走3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好為千米，則x=（ ） *6. 有一座20米高的觀測臺，測得對面一水塔塔頂?shù)难鼋鞘?0，塔底的俯角是，則這座塔高是（ ） *7. 已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都是a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20，燈塔B在觀測站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離是（ ） 8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+c－a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，則三角形ABC是（ ） A. 等腰三角形， B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空題： *9. 在三角形ABC中，a－b=4，a+c=2b，且最大角為120，則此三角形的周長是 **10. 在三角形ABC中，若C=3B，則的取值范圍是 *11. 在三角形ABC中，已知B=45，C=60，則三角形的面積S=________ 12. 海上有A，B兩個小島相距10海里，從A島望，C島和B島成60視角，從B島望A島和C島成75視角，則B島和C島的距離是 海里 *13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，則三角形ABC的形狀是 **14. 若等腰三角形的頂角是20，底邊和一腰長分別是b，a，則下列結(jié)論不成立的是 （1），（3）（4） 三、計算題： *15. 已知地面上有一旗桿OP，為了測得其高度h，地面上取一基線AB，AB=20米，在A處測得P點的仰角∠OAP=30，在B處測得P點的仰角∠OBP=45，又知∠AOB=60，求旗桿的高度h. 16. 已知小島A的周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30，航行30海里后在C處測得小島A在船的南偏東45，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問有無觸礁的危險？ **17. 在圓心角為60的扇形鐵板OAB中，工人師傅要裁出一個面積最大的內(nèi)接矩形，求此內(nèi)接矩形的最大面積。 【試題答案】 一、選擇題: C D A D C B B B 二、填空題： 9. 30 10.（1，3） 11. 12. 13. 直角三角形 14.（2）（3）（4） 三、計算題： 15.【分析】欲求旗桿的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解決即可。 解：AO=OPcot30=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得： 60 答：所求旗桿的高度是。 16.【分析】要判斷船有無觸礁的危險，只要判斷A到BC的直線距離是否大于38海里就可以判斷。 解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30，∠ACB=180－45=135，故∠A= 15 由正弦定理得： 故 于是A到BC的直線距離是Acsin45== ，大于38海里。 答：繼續(xù)向南航行無觸礁的危險。 17. 【分析】要找出內(nèi)接矩形的長寬與面積S的關(guān)系，可采用引入第三個變量的辦法，用表示矩形的長寬x，y，這樣矩形的面積可以表示成的三角函數(shù)，通過的變化情況，得出S的最大值。 解：如圖，設(shè)PQ=x，MP=y，則矩形面積S=xy 連接ON，令∠AON=，則y=Rsin 在三角形OMN中：由正弦定理得： 故當=30時，矩形的面積最大，其最大值是.