第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算A組基礎(chǔ)題組1.已知向量a,b不共線,c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么()A.k=1且c與d同向B.k=1且c與d反向C.k=-1且c與d同向D.k=-1且c與d反向2.(20xx武漢武昌調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則+等于()A.B.2C.3D.43.如圖,已知AB是圓O的直徑,點(diǎn)C、D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),=a,=b,則=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b4.(20xx日照模擬)在ABC中,P是BC邊的中點(diǎn),角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若c+a+b=0,則ABC的形狀為()A.等邊三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形5.下列四個(gè)結(jié)論:+=0;+=0;-+-=0;+-=0,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.46.在平行四邊形ABCD中,若|+|=|-|,則四邊形ABCD的形狀為. 7.(20xx內(nèi)蒙古包頭九中期中)如圖,在ABC中,AHBC于H,M為AH的中點(diǎn),若=+,則+=. 8.如圖,在梯形ABCD中,=2,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn).若=e1,=e2,用e1,e2表示,.9.設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線;(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三點(diǎn)共線,求k的值.B組提升題組10.在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若=m+n(m,nR),則mn的值為()A.-12B.-2C.2D.1211.(20xx甘肅蘭州二中月考)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=+,0,+),則P的軌跡一定通過(guò)ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心12.ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿(mǎn)足+=,則PBC與ABC的面積之比是. 13.在直角梯形ABCD中,A=90°,B=30°,AB=23,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若=+,則的取值范圍是. 14.如圖所示,在ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若=m,=n,則m+n的值為. 15.已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn),且3+4+5=0,延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D,若=a,=b,用a、b表示向量、.16.如圖,在ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,;(2)求證:B,E,F三點(diǎn)共線.答案全解全析A組基礎(chǔ)題組1.Dcd,c=d(R),即ka+b=(a-b),k=-1,則c=b-a,故c與d反向.2.D+=(+)+(+)=2+2=4.故選D.3.D連接CD,由點(diǎn)C、D是半圓弧的三等分點(diǎn),得CDAB且=12a,所以=+=b+12a.4.A如圖,由c+a+b=0知,c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而與為不共線向量,a-c=c-b=0,a=b=c,故ABC是等邊三角形.5.C+=+=0,正確;+=+=,錯(cuò);-+-=+=+=0,正確;+-=+=0,正確.故正確.6.答案矩形解析如圖,+=,-=,所以|=|.由對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知,四邊形ABCD是矩形.7.答案12解析設(shè)=x,=12(+)=+x(-)=12(1+x)-x,且=+,1+x=2,-x=2,+=12.8.解析=12e1;=+=-+=+-=-=e2-12e1;=+=-+=-=14e1-e2.9.解析(1)證明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因?yàn)?2e1-8e2,所以=2,又與有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.(2)由(1)知=e1-4e2,又因?yàn)锽,D,F三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù),使得=,所以3e1-ke2=e1-4e2,得解得k=12.B組提升題組10.B易知AEBC=EFFB=12,EF=13EB,=13(+)=+=-,m=13,n=-16,mn=-2.11.B由=+,知-=,即=,P在BAC的平分線上,故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的內(nèi)心.12.答案23解析因?yàn)?=,所以+=-,所以=-2=2,即P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn),且PC=23AC,由三角形的面積公式可知,=PCAC=23.13.答案0,12解析由題意易得AD=1,CD=3,所以=2,因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以設(shè)=(01),當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,此時(shí)=,則=0;當(dāng)0<1時(shí),=+=+2=+,又因?yàn)?+,所以=1,即=12,所以0<12.綜上,012.14.答案2解析連接AO,O是BC的中點(diǎn),=12(+).又=m,=n,=+.M、O、N三點(diǎn)共線,m2+n2=1.m+n=2.15.解析=-=-a,=-=-b,3+4+5=0,3+4(-a)+5(-b)=0,=13a+512b.設(shè)=t(tR),則=13ta+512tb.又設(shè)=k(kR),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+.=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.由得13t=1-k,512t=k,解得t=43.代入得=49a+59b.=13a+512b,=49a+59b.16.解析(1)由已知可得=12(+)=12(a+b).=23·12(a+b)=13(a+b),=12b,=-=13(a+b)-a=13b-23a,=-=12b-a.(2)證明:由=13b-23a,=12b-a,得=,又,有公共點(diǎn)B,故B,E,F三點(diǎn)共線.