【高考考綱解讀】高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：直線和圓的方程；兩直線的平行與垂直關(guān)系；點(diǎn)到直線的距離；直線與圓的位置關(guān)系；直線被圓截得的弦長(zhǎng)多為B級(jí)或C級(jí)要求【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1兩直線平行或垂直(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在且l1與l2不重合時(shí)，l1l2.(2)兩條直線垂直：對(duì)于兩條直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.特別地，當(dāng)l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零時(shí)，l1l2.2圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r；對(duì)于二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是3直線方程的5種形式中只有一般式可以表示所有的直線在利用直線方程的其他形式解題時(shí)，一定要注意它們表示直線的局限性比如，根據(jù)“在兩坐標(biāo)軸上的截距相等”這個(gè)條件設(shè)方程時(shí)一定不要忽略過原點(diǎn)的特殊情況而題中給出直線方程的一般式，我們通常先把它轉(zhuǎn)化為斜截式再進(jìn)行處理4處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡(jiǎn)化5直線與圓中常見的最值問題(1)圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值(2)直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值(3)過圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得弦長(zhǎng)的最值(4)直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)的最小值問題(5)兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值【題型示例】題型1、直線和圓的方程【例1】 【20xx江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【答案】 【變式探究】【20xx高考新課標(biāo)3文數(shù)】已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則_.【答案】4【解析】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，【舉一反三】 (20xx·江蘇，10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析直線mxy2m10恒過定點(diǎn)(2，1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.答案(x1)2y22 【變式探究】 (1)已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且AB線段的中點(diǎn)為P，則線段AB的長(zhǎng)為()A11B10C9D8(2)(20xx·重慶)已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點(diǎn)，且ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a_.【命題意圖】(1)本題主要考查兩直線的位置關(guān)系及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，意在考查考生的運(yùn)算求解能力(2)本題主要考查圓的方程與點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想【答案】(1)B(2)4±【感悟提升】(1)要注意幾種直線方程的局限性點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究提醒：判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)要注意兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：一是忽視直線的斜率不存在的情況，二是忽視兩直線重合的情況(3)一些含有參數(shù)的直線方程可能出現(xiàn)當(dāng)x，y取定值時(shí)方程對(duì)任意參數(shù)恒成立的情況，這種情況就是直線恒過定點(diǎn)一般解法是把直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程，根據(jù)這個(gè)方程對(duì)任意參數(shù)恒成立，得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解就是直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)【變式探究】若一三角形三邊所在的直線方程分別為x2y50，y20，xy40，則能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為_【答案】(x2)22【解析】結(jié)合題意，易得三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出圖形，即可判斷該三角形為鈍角三角形，而能夠覆蓋鈍角三角形的圓是以鈍角的對(duì)邊(最長(zhǎng)邊)為直徑的圓，而最長(zhǎng)邊的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2)，(3,1)，即圓的直徑為，圓心坐標(biāo)為，故其方程為(x2)22.【方法技巧】求圓的方程就是要確定圓心坐標(biāo)和半徑，通常用待定系數(shù)法；對(duì)于解析幾何填空題利用其幾何性質(zhì)往往會(huì)起到方便、快捷作用【變式探究】已知過某定圓上的每一點(diǎn)均可以作兩條相互垂直的直線與橢圓1的公共點(diǎn)都各只有一個(gè)，那么該定圓的方程為_【答案】x2y225題型2、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例2】【20xx課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【答案】（1）不會(huì)；（2）詳見解析【解析】（1）不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè), ,則滿足，所以.又C的坐標(biāo)為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.（2）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），可得BC的中垂線方程為.由（1）可得，所以AB的中垂線方程為.聯(lián)立又，可得所以過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（），半徑故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為，即過A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【變式探究】 【20xx高考新課標(biāo)2文數(shù)】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得，故選A 【舉一反三】(20xx·廣東，5)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy0或2xy0B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy50或2xy50解析設(shè)所求切線方程為2xyc0，依題有，解得c±5，所以所求切線的直線方程為2xy50或2xy50，故選D.答案D【變式探究】(20xx·新課標(biāo)全國(guó)，7)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 B8 C4 D10答案C【感悟提升】1直線與圓的位置關(guān)系及切線方程的求解方法(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系判斷依據(jù)兩個(gè)圓心距離與半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式2弦長(zhǎng)與切線長(zhǎng)的計(jì)算方法(1)弦長(zhǎng)的計(jì)算：直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|2(其中d為弦心距)(2)切線長(zhǎng)的計(jì)算：過點(diǎn)P向圓引切線PA，則|PA|(其中C為圓心)3圓上的點(diǎn)到直線的距離的求解策略(1)轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離以及直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解(2)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系求解(3)直接設(shè)點(diǎn)，利用方程思想解決【變式探究】 (20xx·重慶，8)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|()A2 B4 C6 D2答案C【方法技巧】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系，判定直線與圓的位置關(guān)系【變式探究】(20xx·山東，9)一條光線從點(diǎn)(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A或 B或C或 D或解析圓(x3)2(y2)21的圓心為(3，2)，半徑r1.(2，3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，3)如圖所示，反射光線一定過點(diǎn)(2，3)且斜率k存在，反射光線所在直線方程為y3k(x2)，即kxy2k30.反射光線與已知圓相切，1，整理得12k225k120，解得k或k.答案D題型三、有關(guān)圓的最值問題例3、【20xx高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）（3）所以，于是圓N的半徑為，從而，解得.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為.設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0，則圓心M到直線l的距離 因?yàn)?而 所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. 【舉一反三】(20xx·廣東，20)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由 【變式探究】(20xx·江西)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C(62) D.【命題意圖】結(jié)合圖形分析，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線問題，考查了抽象概括能力和推理論證能力，利用點(diǎn)到直線的距離求解半徑和面積，考查運(yùn)算求解能力【審題策略】思路一：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)A，B的位置，設(shè)A(a,0)，B(0，b)，得到動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)，計(jì)算出半徑r后，根據(jù)直線與圓相切的條件列出關(guān)于a，b的方程，求目標(biāo)函數(shù)2r的最小值，再求圓的面積的最小值思路二：根據(jù)題意，以線段AB為直徑的圓過原點(diǎn)，即三角形AOB是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，由平面幾何知識(shí)，知面積最小的圓的直徑即為原點(diǎn)O到直線2xy40的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可【答案】A【方法總結(jié)】1.涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì)，利用幾何法進(jìn)行直接求解2在求有關(guān)最值問題時(shí)，注意建立相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)或結(jié)合圓的幾何性質(zhì)直接運(yùn)用平面幾何知識(shí)求解