第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系考綱傳真1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想(對應學生用書第116頁) 基礎知識填充1判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系：d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計算判別式b24ac，>0相交，0相切，<0相離2圓與圓的位置關系設圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數(shù)法：聯(lián)立兩個圓的方程組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2一組實數(shù)解相交|r2r1|<d<r1r2兩組不同的實數(shù)解內切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內含0d<|r1r2|(r1r2)無解知識拓展1圓的切線(1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是xx0yy0r2；(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2.(3)過圓x2y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0xy0yr2.2直線被圓截得的弦長弦心距d、弦長a的一半a及圓的半徑r構成一直角三角形，且有r2d22.3圓與圓的位置關系的常用結論(1)兩圓的位置關系與公切線的條數(shù)：內含：0條；內切：1條；相交：2條；外切：3條；相離：4條(2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程()解析依據(jù)直線與圓、圓與圓的位置關系，只有(4)正確答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關系為()A內切B相交C外切D相離B兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交3(20xx·合肥調研)直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，則b的值是()A2或12B2或12C2或12D2或12D由圓x2y22x2y10，知圓心(1,1)，半徑為1，所以1，解得b2或12.4在平面直角坐標系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.5(20xx·張家口模擬)已知直線12x5y3與圓x2y26x8y160相交于A，B兩點，則|AB|_. 【導學號：00090279】4把圓的方程化成標準方程為(x3)2(y4)29，所以圓心坐標為(3,4)，半徑r3，所以圓心到直線12x5y3的距離d1，則|AB|24.(對應學生用書第117頁)直線與圓的位置關系(1)(20xx·開封模擬)直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關系是()A相交B相切C相離D不確定(2)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為_(3)(20xx·全國卷)設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_(1)A(2)x2y50(3)4(1)法一：圓心(0,1)到直線l的距離d<1<.故直線l與圓相交法二：直線l：mxy1m0過定點(1,1)，點(1,1)在圓C：x2(y1)25的內部，直線l與圓C相交(2)以原點O為圓心的圓過點P(1,2)，圓的方程為x2y25.kOP2，切線的斜率k.由點斜式可得切線方程為y2(x1)，即x2y50.(3)圓C：x2y22ay20化為標準方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.|AB|2，點C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為×224.規(guī)律方法1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷；(2)注意靈活運用圓的幾何性質，聯(lián)系圓的幾何特征，數(shù)形結合，簡化運算如“切線與過切點的半徑垂直”等2與弦長有關的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構成直角三角形進行求解變式訓練1(1)(20xx·蘭州模擬)過點(3,1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A2xy50B2xy70Cx2y50Dx2y70(2)(20xx·全國卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|_. 【導學號：00090280】(1)B(2)4(1)依題意知，點(3,1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為，所以切線的斜率k2.故圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.(2)由圓x2y212知圓心O(0,0)，半徑r2.圓心(0,0)到直線xy60的距離d3，|AB|22.過C作CEBD于E.如圖所示，則|CE|AB|2.直線l的方程為xy60，kAB，則BPD30°，從而BDP60°.|CD|4.圓與圓的位置關系(1)(20xx·山東高考)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是()A內切B相交C外切D相離(2)(20xx·漢中模擬)若圓x2y24與圓x2y22ay60(a0)的公共弦長為2，則a_.(1)B(2)1(1)法一：由得兩交點為(0,0)，(a，a)圓M截直線所得線段長度為2，2.又a>0，a2.圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0,2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1,1)，半徑r21，|MN|.r1r21，r1r23,1<|MN|<3，兩圓相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1A圓M截直線xy0所得線段的長度為2，圓心M到直線xy0的距離d，解得a2.以下同法一(2)方程x2y22ay60與x2y24.兩式相減得：2ay2，則y.由已知條件，即a1.規(guī)律方法1.圓與圓的位置關系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關系2若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到3若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦變式訓練2(1)圓x2y26x16y480與圓x2y24x8y440的公切線條數(shù)為()A1B2C3D4(2)(20xx·山西太原模擬)若圓C1：x2y21與圓C2：x2y26x8ym0外切，則m()A21B19C9D11(1)B(2)C(1)將兩圓x2y26x16y480與x2y24x8y440化為標準形式分別為(x3)2(y8)2112，(x2)2(y4)282.因此兩圓的圓心和半徑分別為O1(3，8)，r111；Q2(2,4)，r28.故圓心距|O1O2|13.又|r1r2|O1O2|r1r2|，因此兩圓相交，公切線只有2條(2)圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r11，圓C2的方程可化為(x3)2(y4)225m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2(m25)從而|C1C2|5.由兩圓外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9，故選C直線與圓的綜合問題 (20xx·江蘇高考改編)如圖8­4­1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點A(2,4)(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BCOA，求直線l的方程 【導學號：00090281】圖8­4­1解圓M的標準方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.1分(1)由圓心N在直線x6上，可設N(6，y0)因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.4分因此，圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.5分(2)因為直線lOA，所以直線l的斜率為2.設直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.8分因為BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.12分規(guī)律方法1.(1)設出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標準方程(2)依據(jù)平行直線，設出直線l的方程，根據(jù)點到直線的距離公式及勾股定理求解2求弦長常用的方法：弦長公式；半弦長、半徑、弦心距構成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)變式訓練3在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：xy4相切(1)求圓O的方程；(2)若圓O上有兩點M，N關于直線x2y0對稱，且|MN|2，求直線MN的方程解(1)依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線xy4的距離，則r2.所以圓O的方程為x2y24.5分(2)由題意，可設直線MN的方程為2xym0.則圓心O到直線MN的距離d.7分由垂徑分弦定理，得()222，即m±.10分所以直線MN的方程為2xy0或2xy0.12分