【備戰(zhàn)20xx高考高三數(shù)學(xué)全國(guó)各地一模試卷分項(xiàng)精品】專(zhuān)題八 立體幾何一、選擇題【20xx云南師大附中月考】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. 8 B. 62 C. 42 D. 4【答案】A【20xx云南師大附中月考】三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為5的球中，AB=CD=4，則三棱錐A-BCD的體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖，過(guò)CD作平面ECD，使AB平面ECD，交AB于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到CD的距離為EF，當(dāng)球心在EF上時(shí)，EF最大，此時(shí)E,F分別為AB，CD的中點(diǎn)，且球心為EF的中點(diǎn)，所以EF=2，所以，故選C【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】已知偽,尾是兩個(gè)不同平面，直線(xiàn)，則“偽/尾”是“l(fā)/偽”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意，兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，反之若直線(xiàn)和平面平行，兩個(gè)平面可能相交，個(gè)為充分不必要條件.【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】某幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面與底面的面積之比為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為10cm的正方形，將該木料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近 （ ）A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm【答案】A【20xx吉林二調(diào)】某幾何體的三視圖如下圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為（ ）A. 4蟺 B. 28蟺3 C. 44蟺3 D. 20蟺【答案】B【解析】由三視圖，可得該幾何體是一個(gè)正三棱柱（如圖所示），其中底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，由題意可知該幾何體的外接球的球心為，半徑為R=OC，為底面正三角形的中心，則R=OG2+CG2=1+43=213，則該球面的表面積為.故選B.【20xx江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )A. B. 8-蟺3 C. D. 7-蟺3【答案】B【20xx湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】如圖所示，在四邊形ABCD中，,將螖ABD沿BD折起，使得平面平面BCD，構(gòu)成四面體A-BCD，則在四面體中，下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 平面平面ABC B. 平面平面BCD C. 平面平面BCD D. 平面平面ABC【答案】D【20xx湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. 36蟺 B. 8蟺 C. D. 27蟺8【答案】B【解析】從題設(shè)中三視圖所提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2,2,2的長(zhǎng)方體的一角所在三棱錐，其外接球與該長(zhǎng)方體的外接球相同，其直徑是該長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)l=22+(2)2+(2)2=22，故球的半徑為R=2，所以該外接球的表面面積，應(yīng)選答案B?！?0xx河北衡水六調(diào)】已知一個(gè)底面為正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的六棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為7，則該幾何體的側(cè)視圖可能是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【20xx江西上饒一模】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A5BCD 【答案】 【解析】幾何體如下圖，幾何體為底面為直角梯形的直四棱柱，截去陰影表示的三棱錐，所以體積為 ,故選D.【20xx內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考】如圖，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為（ ）A 3 B 4 C. D【答案】 【20xx內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考】在正方體中，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則異面直線(xiàn)與所成角S的取值范圍是（ ）A B C. D【答案】 【解析】如下圖： ,所有異面直線(xiàn)所成的角為,當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍，點(diǎn)不能與重合，與點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大為 ，的取值范圍是 所以異面直線(xiàn)所成角的取值范圍是，故選D.【20xx山西五校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A B C D【答案】 【20xx山西五校聯(lián)考】已知三棱錐內(nèi)接與球，且，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（ ）A B C D【答案】 【點(diǎn)睛】本題考查了球與幾何體的問(wèn)題，是高考中的重點(diǎn)問(wèn)題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線(xiàn)上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線(xiàn)（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球.【20xx廣東深圳一模】已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，球與該正方體的各個(gè)面相切，則平面ACB1截此球所得的截面的面積為（ ）A. 8蟺3B. 5蟺3C. 4蟺3D. 2蟺3【答案】D【解析】因?yàn)榍蚺c各面相切，所以直徑為2，且AC,AB1,CB1的中點(diǎn)在所求的切面圓上，所以所求截面為此三點(diǎn)構(gòu)成的邊長(zhǎng)為2正三角形的外接圓，由正弦定理知R=63，所以面積S=2蟺3，選D【20xx荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為的正方形，兩條虛線(xiàn)互相垂直，則該幾何體的體積是A. B. C. D.【答案】B【點(diǎn)睛】 1.解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫(huà)出其直觀圖2三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長(zhǎng)、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)二、填空題【20xx湖北武漢武昌區(qū)調(diào)研】若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，給出下列結(jié)論：四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直；四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于900 而小于1800 ；連結(jié)四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線(xiàn)段相互垂直平分；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)；其中正確結(jié)論的序號(hào)是_（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【解析】把四面體補(bǔ)形為平行六面體,由三組對(duì)棱分別相等可知此平行六面體為長(zhǎng)方體,如圖所示,只有長(zhǎng)方體為正方體時(shí)才正確,故不正確.在長(zhǎng)方體中,有BACDCA.ABCDCB,CBDADB.四面體ABCD每個(gè)面的面積都相等,故正確.對(duì)于,以BAC,CAD,BAD為例說(shuō)明.BACDCA,CAD=ACB.又DABCBA,BAD=ABC.BAC+CAD+BAD=BAC+ACB+ABC=180°,故不正確.對(duì)于,連接四面體ABCD對(duì)棱中點(diǎn)的線(xiàn)段即是連接長(zhǎng)方體對(duì)面中心的線(xiàn)段,顯然相互垂直平分,故正確.對(duì)于,以AB、AC、AD為例進(jìn)行說(shuō)明.AD=BC,AB、AC、BC三邊長(zhǎng)可構(gòu)成ABC,AB、AC、AD可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).同理可得從其他頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)也可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故正確.【20xx河北衡水六調(diào)】已知三棱錐平面BOC，其中AB=10，BC=13，AC=5,O,A,B,C四點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為_(kāi)【答案】14蟺【點(diǎn)睛】本題考查球的體積與表面積，考查球與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，考查三棱錐與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，本題考查幾何中常用的一種叫補(bǔ)全圖形的方法來(lái)完成；本題在解答時(shí)，首先根據(jù)且平面BOC，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，由圓的對(duì)稱(chēng)性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，長(zhǎng)方體的體積就是圓的直徑，求出直徑，得到圓的面積 三、解答題【20xx安徽合肥一模】如圖所示，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，AB=AA1=2A1B1=2.（）若M為CD中點(diǎn)，求證：平面AA1B1B；（）求直線(xiàn)DD1與平面A1BD所成角的正弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（）四邊形為菱形，連結(jié)AC，則為等邊三角形，又為CD中點(diǎn)，由CD/AB 得， ,底面ABCD，底面ABCD，又 ,平面AA1B1B【點(diǎn)睛】立體幾何中計(jì)算涉及兩個(gè)內(nèi)容一個(gè)是面積體積問(wèn)題，一個(gè)是空間的角與距離問(wèn)題，其中空間角與距離問(wèn)題可通過(guò)空間向量法簡(jiǎn)化思維量（1）若兩條異面直線(xiàn)和的方向向量分別為，兩條異面直線(xiàn)和所成的角為，則；（2）若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，則；（3）設(shè)分別為二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其二面角大小為，則或，其中【20xx云南師大附中月考】如圖，三棱錐P-ABC中，平面ABC，PA=AC=2，是PA的中點(diǎn)，是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在PB上，.（1）證明：EF/平面ABC；（2）若，求二面角B-CD-A的余弦值.【答案】（）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（）64.（）作BOAC于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OH/PA，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OH所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則平面CDA的一個(gè)法向量為設(shè)平面CDB的一個(gè)法向量為則可取，所以，所以二面角BCDA的余弦值為64 【20xx湖北武漢武昌區(qū)調(diào)研】如圖，四棱錐中，AB/CD ，BC鈯D，側(cè)面為等邊三角形，AB=BC=2 ,CD=SD=1 .（）證明：平面SAB;（）求AB與平面SBC所成角的正弦值.【答案】（）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（）AB與平面SBC所成角的正弦值為217【解析】方法一：空間向量法（）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)CD為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0) ,設(shè)S(x,y,z)，則x>0,y>0,z>0 ，且， ， ，由,得(x-2)2+(y-2)2+z2=x2+(y-2)2+z2 ，解得：x=1 ，由,得y2+z2=1 由,得y2+z2-4y+1=0 解，得y=12,z=32 ，鈭碨(1,12,32) , , , , ,鈭碊S鈯S,DS鈯S ,平面SAB 6分方法二：綜合法（） 解：如下圖，取AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE，SE，則四邊形BCDE為矩形，鈭碊E=CB=2 ,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=2,且SE=3,又鈭礢D=1 ,鈭碨A2+SD2=AD2,SE2+SD2=ED2 ,鈭碨D鈯A,SD鈯E,.Com平面SAB.（）過(guò)點(diǎn)作SG鈯E于，因?yàn)锳B鈯E，AB鈯E，所以平面平面SDE所以平面平面ABCD,由平面與平面垂直的性質(zhì)，知平面ABCD,.Com在Rt螖DSE中，由，得，所以SG=32.過(guò)點(diǎn)作平面SBC于，連結(jié)BH，則鈭燗BH為AB與平面SBC所成角的角，因?yàn)镃D/AB ，平面SDE,所以平面SDE，所以CD鈯D,在Rt螖CDS中，由CD=SD=1，求得SC=2.在鈻砈BC中，SB=BC=2,SC=2 ,所以 ,由VA-SBC=VS-ABC，得 ，即，解得AH=2217,所以,故AB與平面SBC所成角的正弦值為217.【點(diǎn)晴】本題考查的是線(xiàn)面垂直的判定和直線(xiàn)與平面所成的角，本題中（1）問(wèn)的關(guān)鍵是結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理證明線(xiàn)和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直即可得證；（2）求直線(xiàn)和平面所成角時(shí)找到平面的垂線(xiàn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，斜線(xiàn)和斜線(xiàn)在平面的射影所成的角即為直線(xiàn)和平面所成的角，轉(zhuǎn)到直角三角形中求解即可.【20xx山東菏澤上學(xué)期期末】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC，AC=BC=2,AB=22,CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn).（1）求證：BC鈯M；（2）若CM=52，求二面角A-MB1-C的大小.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）二面角A-MB1-C的大小為.（2）以為原點(diǎn)，CA,CB,CC1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.因?yàn)镃M=52，所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),M(0,0,52)，.設(shè)平面AMB1的一個(gè)法向量，則，即，令x=5，則y=-3,z=4，即，又平面MB1C的一個(gè)法向量，由圖可知二面角A-MB1-C為銳角，二面角A-MB1-C的大小為.【20xx四川資陽(yáng)上學(xué)期期末】如圖，矩形ACEF和等邊三角形ABC中，AC=2,CE=1，平面平面ACEF（1）在EF上找一點(diǎn)M，使BM鈯C，并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，求平面ABM與平面CBE所成銳二面角余弦值【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）平面MAB與平面BCE所成銳二面角的余弦值為77.（2）由（1）知OA,OB,OM兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，AC=2,CE=1，三角形ABC為等邊三角形，O(0,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),E(-1,0,1),A(1,0,0),F(1,0,1)于是，設(shè)面BCE的法向量，所以，得x+3y=0z=0，則面BCE的一個(gè)法向量，又M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為M(0,0,1)，于是，且，又設(shè)面ABM的法向量，由，得-a+c=0-a+3b=0，取a=3，則b=1,c=3，平面ABM的一個(gè)法向量m0=(3,1,3)，所以，平面MAB與平面BCE所成銳二面角的余弦值為77【20xx吉林二調(diào)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且，點(diǎn)是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn).（1）求證：AB鈭F(tuán)；（2）若PA=PD=AD=2，平面平面ABCD，求平面PAF與平面AEF所成的二面角的余弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：ABCD是菱形，AB鈭D，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，四點(diǎn)共面，且面面PCD=EF，AB鈭F(tuán).（2）解：取AD中點(diǎn)，連接PG，GB，PA=PD，PG鈯D，平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，面ABCD，PG鈯B，在菱形ABCD中，AB=AD，是AD中點(diǎn)，AD鈯B，如圖，以為原點(diǎn)，GA、GB、GP所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由PA=PD=AD=2得，.又AB鈭F(tuán)，點(diǎn)是棱PC中點(diǎn)，點(diǎn)是棱PD中點(diǎn)，設(shè)平面AFE的法向量為，則有，-32x+32z=0-x+3y=0，取z=-1，則.平面PAD，是平面PAF的一個(gè)法向量，二面角P-AF-E的余弦值為-1313，平面PAF與平面AEF所成的二面角的余弦值為.【20xx江西師大附中、臨川一中聯(lián)考】如圖1，在螖ABC中，是AB邊的中點(diǎn)，現(xiàn)把螖ACP沿CP折成如圖2所示的三棱錐A-BCP，使得AB=10（1）求證：平面平面BCP；（2）求平面ABC與平面ABP夾角的余弦值【答案】(1詳見(jiàn)解析，(2) 6513（2）因?yàn)槠矫鍯PB，且OC鈯E，故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0),C(1,0,0),A(0,0,3),P(-1,0,0),B(-2,3,0)， 設(shè)平面ABC的法向量為m=(x,y,z)，則由得；同理可求得平面ABP的法向量為， 故所求角的余弦值.【20xx湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面?zhèn)让鍭BB1A1，且AA1=AB=2.（1）求證：AB鈯C;（2）若直線(xiàn)AC與平面A1BC所成的角為，請(qǐng)問(wèn)在線(xiàn)段A1C上是否存在點(diǎn)，使得二面角A-BE-C的大小為，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)詳見(jiàn)解析， (2) （2）由（1），則鈭燗CD直線(xiàn)AC與平面A1BC所成的角所以鈭燗CD=蟺6，又AD=2，所以AC=22 假設(shè)在線(xiàn)段A1C上是否存在一點(diǎn)，使得二面角A-BE-C的大小為由ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，且設(shè)，則由A1(0,0,2)，C(22,0,0)，得 所以，設(shè)平面EAB的一個(gè)法向量，由， 得：，取 由（1）知，所以平面CEB的一個(gè)法向量所以，解得位=12點(diǎn)為線(xiàn)段A1C中點(diǎn)時(shí)，二面角A-BE-C的大小為 【20xx河北衡水六調(diào)】四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC=2,CD=3，且平面平面ABCD（1）求證：AD鈯B；（2）在線(xiàn)段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-BC-D的大小為，若存在，求出PMPA的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6-36【解析】 (1)過(guò)點(diǎn)作BO/CD，交AD于，連接OP，四邊形OBCD是矩形，OP2+OD2=PD2，OP鈯D，又平面平面，平面OPB，平面OPB，AD鈯B；【點(diǎn)睛】利用空間向量法求二面角的一般方法，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)分別為平面?zhèn)?尾的法向量，二面角偽-l-尾的大小為，向量的夾角為，則有（圖1）或 胃=蠅（圖2）其中. 圖1 圖2【20xx江西上饒一?！吭谌庵?，已知側(cè)面是菱形，側(cè)面是正方形，點(diǎn)在底面的投影為的中點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為上一點(diǎn)，且，求二面角的正弦值【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）.（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2，易知，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)且有，所以，又因?yàn)槠矫鏋榱庑?，所以為等邊三角形，從而，從而，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，所以即令，則，所以，易知平面的法向量，所以，所以，從而二面角的正弦值為【20xx內(nèi)蒙包頭十校聯(lián)考】如圖，四邊形為正方形，平面,（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.（2）依題意，,設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，因此可取7分設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，因此可取9分所以，11分故二面角的正弦值為12分【20xx山西五校聯(lián)考】如圖，在四棱錐中，平面（1）在線(xiàn)段上確定一點(diǎn)，使得平面平面，并說(shuō)明理由；（2）若二面角的大小為，求二面角的余弦值【答案】(1) 點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面;(2). 【解析】（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面， 1分理由如下：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所點(diǎn)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面 5分（2）分別以所在的直線(xiàn)為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中軸，易得平面，所以，所以是二面角的平面角，大小為，所以， 7分設(shè)，則，所以，所以， 8分設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以， 10分因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角，則 12分【20xx廣東深圳一模】如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACEF為平行四邊形，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)，（1）證明：平面平面ABCD；.Com（2）若AE與平面ABCD所成角為60°，求二面角B-EF-D的余弦值【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）證明：連接EG，四邊形ABCD為菱形，在和中，AD=AB,AE=AE，ED=EB，平面ACFE，平面ABCD，平面平面ABCD；（2）解法二：如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)作AC的垂線(xiàn)，交EF于M點(diǎn)，由（1）可知，平面平面ABCD，平面ABCD，直線(xiàn)GM,GA,GB兩兩互相垂直，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，易得為AE與平面ABCD所成的角，則D(0,-1,0),B(0,1,0),E(32,0,32),F(-332,0,32)，設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則.Com且，x=0，且32x-y+32z=0取z=2，可得平面BEF的一個(gè)法向量為，同理可求得平面DEF的一個(gè)法向量為，二面角B-EF-D的余弦值為【20xx荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面底面， 分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上（）求證：平面； （）如果直線(xiàn)與平面所成的角和直線(xiàn)與平面所成的角相等，求的值【答案】（）詳見(jiàn)解析（）【解析】（）證明：在平行四邊形中，因?yàn)椋?所以由分別為的中點(diǎn)，得， 所以 2分 因?yàn)閭?cè)面底面，且，所以底面 又因?yàn)榈酌?，所?4分 又因?yàn)?，平面，平面?所以平面 6分 【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.