1 1課時規(guī)范練44雙曲線一、選擇題1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動點P的軌跡是()A.雙曲線B.雙曲線左邊一支C.雙曲線右邊一支D.一條射線答案:C解析:|PM|-|PN|=3<4,由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支.又|PM|>|PN|,故點P的軌跡為雙曲線的右支.2.與橢圓+y2=1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.=1D.x2-=1答案:B解析:橢圓+y2=1的焦點為(±,0).因為雙曲線與橢圓共焦點,所以排除A,C.又雙曲線-y2=1經(jīng)過點(2,1),所以選B.3.如圖,正六邊形ABCDEF的兩個頂點A,D為雙曲線的兩個焦點,其余4個頂點都在雙曲線上,則該雙曲線的離心率是()A.+1B.-1C.D.答案:A解析:令正六邊形的邊長為m,則有AD=2m,AB=m,BD=m,該雙曲線的離心率等于+1.4.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一個頂點與拋物線y2=20x的焦點重合,該雙曲線的離心率為,則該雙曲線的漸近線斜率為()A.±2B.±C.±D.±答案:C解析:由拋物線y2=20x的焦點坐標為(5,0),可得雙曲線=1的一個頂點坐標為(5,0),即得a=5.又由e=,可解得c=,則b2=c2-a2=,即b=.由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k=±=±.5.設F1,F2是雙曲線-y2=1的兩個焦點,點P在雙曲線上,當F1PF2的面積為2時,的值為()A.2B.3C.4D.6答案:B解析:設點P(x0,y0),依題意得,|F1F2|=2=4,|F1F2|y0|=2|y0|=2,|y0|=1.又=1,=3(+1)=6,·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3.6.(20xx山東高考)拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=()A.B.C.D.答案:D解析:設M,y'='=,故在M點處的切線的斜率為,故M.由題意又可知拋物線的焦點為,雙曲線右焦點為(2,0),且,(2,0)三點共線,可求得p=,故選D.二、填空題7.(20xx江蘇高考)雙曲線=1的兩條漸近線的方程為. 答案:y=±x解析:由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.8.已知雙曲線x2-=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則的最小值為. 答案:-2解析:由題可知A1(-1,0),F2(2,0).設P(x,y)(x1),則=(-1-x,-y),=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.x1,函數(shù)f(x)=4x2-x-5的圖象的對稱軸為x=,當x=1時,·取得最小值-2.9.中心在原點的雙曲線,一個焦點為F(0,),一個焦點到最近頂點的距離是-1,則雙曲線的方程是. 答案:y2-=110.設雙曲線x2-=1的兩個焦點為F1,F2,P是雙曲線上的一點,且|PF1|PF2|=34,則PF1F2的面積等于. 答案:8解析:依題意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2,又|PF1|PF2|=34,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰PF1F2的面積為S=×8×=8.11.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別是A1,A2,M是雙曲線上任意一點,若直線MA1,MA2的斜率之積等于2,則該雙曲線的離心率是. 答案:解析:設點M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),則直線MA1的斜率是,直線MA2的斜率是,直線MA1,MA2的斜率之積是·,故=2,故該雙曲線的離心率e=.三、解答題12.已知雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,求拋物線C2的方程.解:由于e=2,c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,b2=3a2,即b=a.雙曲線的漸近線方程y=±x即為y=±x,即±x+y=0.又拋物線的焦點坐標為F,F到漸近線的距離為2,即=2,解得p=8.拋物線C2的方程為x2=16y.13.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-),點M(3,m)在雙曲線上.(1)求雙曲線方程;(2)求證:=0;(3)求F1MF2的面積.(1)解:因為e=,所以可設雙曲線方程為x2-y2=.因為雙曲線過點(4,-),所以16-10=,即=6.所以雙曲線方程為x2-y2=6.(2)證明:由(1)可知a=b=,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).所以=-.因為點(3,m)在雙曲線上,所以9-m2=6,即m2=3.故·=-1,所以MF1MF2.所以·=0.(3)解:F1MF2的底邊長|F1F2|=4,F1MF2的高h=|m|=,所以=6.來源:14.如圖所示,雙曲線的中心在坐標原點,焦點在x軸上,F1,F2分別為左、右焦點,雙曲線的左支上有一點P,F1PF2=,且PF1F2的面積為2,又雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的方程.解:設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),來源:數(shù)理化網(wǎng)F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).在PF1F2中,由余弦定理,得來源:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|,又=2,|PF1|·|PF2|·sin=2,|PF1|·|PF2|=8.4c2=4a2+8,即b2=2.又e=2,a2=,雙曲線的方程為=1.15.直線l:y=(x-2)和雙曲線C:=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且|AB|=,又l關于直線l1:y=x對稱的直線l2與x軸平行.(1)求雙曲線C的離心率;(2)求雙曲線C的方程.來源:解:(1)設雙曲線C:=1過一、三象限的漸近線l1:=0的傾斜角為.因為l和l2關于l1對稱,記它們的交點為P.而l2與x軸平行,記l2與y軸交點為Q點.依題意有QPO=POM=OPM=.又l:y=(x-2)的傾斜角為60°,則2=60°,所以tan 30°=.于是e2=1+=1+,所以e=.(2)由,可設雙曲線方程為=1,即x2-3y2=3k2.將y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-3·3(x-2)2=3k2.化簡得8x2-36x+36+3k2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|=2=2=,求得k2=1.故所求雙曲線C的方程為-y2=1.四、選做題1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F恰為雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點,且兩曲線交點的連線過點F,則雙曲線的離心率為()A.2+B.1+C.2D.答案:B解析:拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,故雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為,根據(jù)圖形的性質(zhì)可知兩曲線交點的連線AB垂直于x軸,故AB為雙曲線的通徑,則有=2p,p2=,又A在雙曲線上,故=1,整理得=1.設=t,t2-4t-4=0,t=2+2.e2=1+2+2=3+2=(1+)2,e=1+.2.已知雙曲線x2-y2=1,點F1,F2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1PF2,則|PF1|+|PF2|的值為. 答案:2解析:不妨設點P在雙曲線的右支上,因為PF1PF2,所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,又因為|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,則(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.3.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0).(1)求雙曲線C的方程;來源:數(shù)理化網(wǎng)(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且>2(其中O為原點),求k的取值范圍.解:(1)設雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0).由已知得a=,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1,所以雙曲線C的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1中,整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由題意得故k2且k2<1.設A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB=,xAxB=,由·>2得xAxB+yAyB>2,xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)·k·+2=,于是>2,即>0,解得<k2<3.由得<k2<1,所以k的取值范圍為.