第一節(jié)平面向量的概念及線性運算 考綱傳真1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義(對應(yīng)學(xué)生用書第57頁) 基礎(chǔ)知識填充1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3. 共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得bA知識拓展1一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量2若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則()3.xy(x，y為實數(shù))，若點A，B，C共線，則xy1.4ABC中，0點P為ABC的重心基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量()(2)若ab，bc，則aC()(3)ab是ab(R)的充要條件()(4)ABC中，D是BC的中點，則()()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(20xx·全國卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()ABCDA().故選A3(20xx·長春模擬)設(shè)點P是ABC所在平面內(nèi)一點，且2，則_.0因為2，由平行四邊形法則知，點P為AC的中點，故0.4(教材改編)已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且a，b，則_，_(用a，b表示)baab如圖，ba，aB5已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.由已知得abk(b3a)，得(對應(yīng)學(xué)生用書第58頁)平面向量的有關(guān)概念給出下列六個命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線；a0(為實數(shù))，則必為零；a，b為非零向量，ab的充要條件是|a|b|且aB其中假命題的序號為_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090124】不正確|a|b|.但a，b的方向不確定，故a，b不一定是相等或相反向量；不正確因為，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形不正確兩向量不能比較大小不正確當(dāng)0時，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線不正確當(dāng)1，a0時，a0.不正確對于非零向量a，b，ab的充要條件是|a|b|且a，b同向規(guī)律方法1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)3若a為非零向量，則是與a同向的單位向量，是與a反向的單位向量變式訓(xùn)練1設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是 ()A0B1C2D3D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.平面向量的線性運算(1)(20xx·開封模擬)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則()A B CD(2)(20xx·廣州模擬)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，則()A3B CD3(1)C(2)A(1)如圖，()·2.(2)如圖，過D作DEAB，mn，所以n，m1，所以3.故選A規(guī)律方法向量的線性運算的求解方法(1)進(jìn)行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解變式訓(xùn)練2(1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則等于()AB2 C3D4(2)(20xx·北京模擬)在ABC中，點M，N滿足2，.若xy，則x_；y_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090125】(1)D(2)(1)因為M是AC和BD的中點，由平行四邊形法則，得2，2，所以4.故選D(2)由題中條件得，()xy，所以x，y.共線向量定理的應(yīng)用設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線，又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)kab和akb共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)Ba，b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210，k±1.規(guī)律方法共線向量定理的應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)，使ab，則a與b共線(2)證明三點共線：若存在實數(shù)，使，則A，B，C三點共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點變式訓(xùn)練3(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，則()AA，B，C三點共線BA，B，D三點共線CA，C，D三點共線DB，C，D三點共線(2)(20xx·全國卷)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.(1)B(2)(1)2a6b2(a3b)2，共線，又有公共點B，A，B，D三點共線故選B(2)ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得