課時(shí)規(guī)范練8指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、選擇題1.若函數(shù)f(x)=則f(log43)等于()A.B.3C.D.4答案:B解析:0<log43<1,f(log43)=3.2.函數(shù)f(x)=3·4x-2x在x0,+)上的最小值是()A.-B.0C.2D.10答案:C解析:設(shè)t=2x,x0,+),t1.y=3t2-t(t1)的最小值為2,函數(shù)f(x)的最小值為2.3.函數(shù)y=(0<a<1)的圖象的大致形狀是()答案:D解析:函數(shù)定義域?yàn)閤|xR,x0,且y=當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù),其底數(shù)0<a<1,所以函數(shù)遞減;當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)圖象與指數(shù)函數(shù)y=ax(x<0)的圖象關(guān)于x軸對稱,函數(shù)遞增,所以應(yīng)選D.4.設(shè)a=40.8,b=80.46,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a答案:A解析:a=40.8=21.6,b=80.46=21.38,c=21.2,1.6>1.38>1.2,y=2x為R上的增函數(shù),a>b>c.5.(福建福州八縣市高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=k有3個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.(0,+)B.1,+)C.(0,2)D.(1,2答案:D6.已知f(x)為偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),當(dāng)-2x0時(shí),f(x)=2x.若nN*,an=f(n),則a2 014等于()A.2 014B.4來源:C.D.-4答案:C解析:設(shè)2+x=t,x=t-2.f(t)=f2-(t-2)=f(4-t)=f(t-4).f(x)的周期為4.a2 014=f(2 014)=f(4×503+2)=f(2)=f(-2)=2-2=.二、填空題7.已知f(x)=ax+a-x(a>0且a1),且f(1)=3,則f(0)+f(1)+f(2)的值是. 答案:12解析:f(1)=a+a-1=3,f(0)+f(1)+f(2)=a0+a0+a1+a-1+a2+a-2=2+3+(a+a-1)2-2=12.8.=. 答案:2解析:原式=×1+=2.9.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a1)滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是. 答案:2,+)解析:由f(1)=得a2=.于是a=,因此f(x)=.又因?yàn)間(x)=|2x-4|的單調(diào)遞增區(qū)間為2,+),所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是2,+).10.設(shè)函數(shù)f(x)=,x表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)? 答案:-1,0解析:f(x)=1-,又2x>0,-<f(x)<.y=f(x)的值域?yàn)?1,0.11.若x(-,-1時(shí),不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 答案:-1<m<2解析:原不等式變形為m2-m<,函數(shù)y=在(-,-1上是減函數(shù),=2,x(-,-1時(shí),m2-m<恒成立等價(jià)于m2-m<2,解得-1<m<2.三、解答題12.已知函數(shù)f(x)=3x+為偶函數(shù).(1)求a的值;(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.(1)解:f(-x)=3-x+=a·3x+,函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f(-x)=f(x).a·3x+=3x+對任意xR恒成立,a=1.(2)證明:任取x1,x2(0,+),且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=來源:=()+=(,x1>x2>0,x1+x2>0,>1,則<1.>0,1->0,(>0,來源:f(x1)>f(x2).f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.13.已知函數(shù)f(x)=9x-m·3x+m+1在x(0,+)上的圖象恒在x軸上方,求m的取值范圍.來源:數(shù)理化網(wǎng)解:(方法一)令t=3x,因?yàn)閤(0,+),所以t(1,+).故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+m+1在t(1,+)時(shí)g(t)恒大于0,即=(-m)2-4(m+1)<0或解得m<2+2.(方法二)令t=3x,因?yàn)閤(0,+),所以t(1,+).故問題轉(zhuǎn)化為m<,t(1,+)恒成立,即m比函數(shù)y=,t(1,+)的最小值還小,又y=t-1+22+2=2+2,所以m<2+2.14.已知函數(shù)f(x)=2x-,(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)0對于t1,2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:(1)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=0;當(dāng)x0時(shí),f(x)=2x-.由條件可知2x-=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±.2x>0,x=log2(1+).(2)當(dāng)t1,2時(shí),2t+m0,來源:數(shù)理化網(wǎng)即m(22t-1)-(24t-1).22t-1>0,m-(22t+1).t1,2,-(1+22t)-17,-5.故m的取值范圍是-5,+).15.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).(1)求a,b的值;(2)若對任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.解:(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即=0,解得b=1.從而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.(2)由(1)知f(x)=-,由上式易知f(x)在R上為減函數(shù),又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因f(x)是R上的減函數(shù),由上式推得t2-2t>-2t2+k.即對一切tR有3t2-2t-k>0,從而=4+12k<0,解得k<-.四、選做題1.已知y=f(x+1)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x1,2時(shí),f(x)=2x,設(shè)a=f,b=f,c=f(1),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<c<bB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b答案:B解析:f(x+1)是R上的偶函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對稱,而f(x)=2x在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增,則有a=f=f>b=f>c=f(1),故選B.2.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x0),則不等式f(x)>0的解集為. 答案:(-,-2)(2,+)解析:x0時(shí),f(x)=2x-4,若f(x)>0,則由2x-4>0得x>2,又f(x)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,x<-2時(shí),f(x)>0,f(x)>0的解集為(-,-2)(2,+).3.對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足f(-x)=-f(x),則稱f(x)為“局部奇函數(shù)”.若f(x)=4x-m·2x+1+m2-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:當(dāng)f(x)=4x-m·2x+1+m2-3時(shí),f(x)+f(-x)=0可化為4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.設(shè)t=2x+2-x2,+),則4x+4-x=t2-2,從而t2-2mt+2m2-8=0在2,+)有解即可保證f(x)為“局部奇函數(shù)”.令F(t)=t2-2mt+2m2-8,1°當(dāng)F(2)0時(shí),t2-2mt+2m2-8=0在2,+)有解,由F(2)0,即2m2-4m-40,解得1-m1+.2°當(dāng)F(2)>0時(shí),t2-2mt+2m2-8=0在2,+)有解等價(jià)于解得1+<m2.綜上,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為1-m2.