1 1專題一 高考中函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型一分段函數(shù)求值問題【例1】設(shè)f(x) 且f(1)6，則f(f(2)的值為_.【思維啟迪】首先根據(jù)f(1)6求出t的取值，從而確定函數(shù)解析式，然后由里到外逐層求解f(f(2)的值，并利用指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算規(guī)律求出函數(shù)值.【答案】12【思維升華】本題的難點(diǎn)有兩個，一是準(zhǔn)確理解分段函數(shù)的定義，自變量在不同取值范圍內(nèi)對應(yīng)著不同的函數(shù)解析式；二是對數(shù)與指數(shù)的綜合運(yùn)算問題.解決此類問題的關(guān)鍵是要根據(jù)分段函數(shù)的定義，求解函數(shù)值時要先判斷自變量的取值區(qū)間，然后再代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，在求值過程中靈活運(yùn)用對數(shù)恒等式進(jìn)行化簡求值.【跟蹤訓(xùn)練】已知f(x)則ff的值等于_.【答案】3【解析】f，ff1f2，ff3.題型二函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用【例2】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時f(x)2xx2.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式并畫出其大致圖象；(2)若當(dāng)xa，b時，f(x).若0<a<b2，求a、b的值.【思維啟迪】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性畫出函數(shù)圖象；(2)在區(qū)間0,2上，根據(jù)單調(diào)區(qū)間對a、b進(jìn)行分類討論求解.【解析】(1)當(dāng)x<0時，f(x)f(x)(2xx2)x22x，f(x)，f(x)的大致圖象如下：a1，b.0<a1<b<2時，由圖象知f(1)1，得a1，由a<b，知1<b<2，此時與一樣.綜上：a1，b.【思維升華】函數(shù)的圖象形象直觀地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，所以通常用函數(shù)圖象研究函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間、交點(diǎn)個數(shù)和含參數(shù)的方程或不等式的解集等問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【跟蹤訓(xùn)練】(1)設(shè)函數(shù)f(x)若方程f(x)m有三個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_.(2)(20xx·天津變式)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f()2f(1)，則a的取值范圍是_.【答案】(1)(，0)(2)【解析】(1)作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖所示.當(dāng)x>0時，f(x)x2x(x)2，所以要使方程f(x)m有三個不同的實(shí)根，則<m<0，即m的取值范圍為(，0).題型三函數(shù)的值域與不等式恒成立問題【例3】已知函數(shù)g(x)ax22ax1b(a0，b<1)，在區(qū)間2,3上有最大值4，最小值1，設(shè)f(x).(1)求a，b的值；(2)若不等式f(2x)k·2x0在x1,1上恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍.【思維啟迪】對于恒成立問題，若能轉(zhuǎn)化為a>f(x) (或a<f(x)恒成立，則a必須大于f(x)的最大值(或小于f(x)的最小值).因此恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進(jìn)行求解.若不能分離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解.【解析】(1)g(x)a(x1)21ba.當(dāng)a>0時，g(x)在2,3上為增函數(shù)，故即解得當(dāng)a<0時，g(x)在2,3上為減函數(shù)，故即解得因?yàn)閎<1，所以a1，b0.(2)方程f(2x)k·2x0化為2x2k·2x，即1()2k.令t，則kt22t1，因?yàn)閤1,1，所以t，2，記(t)t22t1，所以(1)min0，所以k0. 【思維升華】解決二次函數(shù)最值的關(guān)鍵是抓住圖象的開口方向、對稱軸與區(qū)間的相對位置；不等式恒成立問題關(guān)鍵是看不等式的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，如二次不等式恒成立問題可運(yùn)用圖象、分離變量運(yùn)用函數(shù)值域法等；已知含參數(shù)的方程的解的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍時根據(jù)方程的特點(diǎn)，可運(yùn)用函數(shù)的圖象處理.【跟蹤訓(xùn)練】定義在R上的增函數(shù)yf(x)對任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y). (1)求f(0)；(2)求證：f(x)為奇函數(shù)；(3)若f(k·3x)f(3x9x2)<0對任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】當(dāng)0即k1時，對任意t>0，f(t)>0恒成立解得1k<12.綜上所述，當(dāng)k<12時，f(k·3x)f(3x9x2)<0對任意xR恒成立.題型四函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例4】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測，發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線 段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路線s(km).(1)當(dāng)t4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km.試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由.思維啟迪本題用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型來考查生活中的行程問題，要分析出每段的速度隨時間的關(guān)系式，再求距離.【解析】(1)由圖象可知：當(dāng)t4時，v3×412，s×4×1224.(2)當(dāng)0t10時，s·t·3tt2；當(dāng)10<t20時，s×10×3030(t10)30t150；當(dāng)20<t35時，s×10×3010×30(t20)×30×(t20)×2(t20)t270t550.綜上可知s所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城. 【思維升華】(1)在實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解.(2)有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤問題、產(chǎn)量問題等.構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決.(3)在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時，一定要注意定義域.【跟蹤訓(xùn)練】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程.(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.【解析】 (1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時取等號.所以炮的最大射程為10千米.(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過6千米時，可擊中目標(biāo). 專題二 高考中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的問題題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)【例1】(20xx·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍【思維升華】利用導(dǎo)數(shù)主要研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值已知f(x)的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題；含參函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)題型，解此類題的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論，此時要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行分析【跟蹤訓(xùn)練】已知aR，函數(shù)f(x)(x2ax)ex (xR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍題型二利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題【例2】已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)對一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：對一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立【解析】(1)x(0，)，有2xln xx2ax3，則a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x>0)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，【思維升華】(1)恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進(jìn)行求解，若不能分離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解(2)證明不等式，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為x2y30.(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x>0，且x1時，f(x) >.【解析】(1)f(x).由于直線x2y30的斜率為，且過點(diǎn)(1,1)，故即解得a1，b1.(2)證明由(1)知f(x)，所以f(x).考慮函數(shù)h(x)2ln x (x>0)，則h(x).所以當(dāng)x1時，h(x)<0.而h(1)0，故當(dāng)x(0,1)時，h(x)>0，可得h(x)>0；當(dāng)x(1，)時，h(x)<0，可得h(x)>0.從而當(dāng)x>0，且x1時，f(x)>0.即f(x)>. 題型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)問題【例3】設(shè)函數(shù)f(x)ln x，mR.(1)當(dāng)me(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)零點(diǎn)的個數(shù)【解析】 (2)由題設(shè)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0)設(shè)(x)x3x(x0)，則x21(x1)(x1)，當(dāng)x(0,1)時，(x)>0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時，(x)<0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x1也是(x)的最大值點(diǎn)(x)的最大值為(1).又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，可知【思維升華】用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想畫草圖確定參數(shù)范圍【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當(dāng)a2時，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在，e上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(1)當(dāng)a2時，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.x，e，當(dāng)g(x)0時，x1.當(dāng)<x<1時，g(x)>0； 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org