3.2 回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)建立線性回歸模型分析兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.能通過(guò)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量間的線性相關(guān)程度.3.了解非線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)一線性回歸模型思考某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號(hào)12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬(wàn)元23345請(qǐng)問(wèn)如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關(guān)關(guān)系？y關(guān)于x的線性回歸方程是什么？梳理線性回歸模型(1)隨機(jī)誤差具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的取值x、y，y的值不能由x完全確定，可將x，y之間的關(guān)系表示為yabx，其中_是確定性函數(shù)，_稱為隨機(jī)誤差(2)隨機(jī)誤差產(chǎn)生的主要原因所用的_不恰當(dāng)引起的誤差；忽略了_；存在_誤差(3)線性回歸模型中a，b值的求法y_稱為線性回歸模型a，b的估計(jì)值為，則(4)回歸直線和線性回歸方程直線x稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程，稱為_(kāi)，稱為_(kāi)，稱為_(kāi)知識(shí)點(diǎn)二樣本相關(guān)系數(shù)r具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的線性回歸方程x.思考1變量與真實(shí)值y一樣嗎？思考2變量與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？梳理樣本相關(guān)系數(shù)r及其性質(zhì)(1)r_.(2)r具有以下性質(zhì)：|r|_；|r|越接近于_，x，y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于_，x，y的線性相關(guān)程度越弱知識(shí)點(diǎn)三對(duì)相對(duì)關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的基本步驟1_：變量x，y不具有線性相關(guān)關(guān)系；2如果以95%的把握作出判斷，那么可以根據(jù)10.950.05與n2在教材附錄2中查出一個(gè)r的臨界值r0.05(其中10.950.05稱為檢驗(yàn)水平)；3計(jì)算_；4作出統(tǒng)計(jì)推斷：若|r|_，則否定H0，表明有_的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若|r|r0.05，則_原來(lái)的假設(shè)H0，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒(méi)有充分理由認(rèn)為y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系類型一求線性回歸方程例1某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力(相關(guān)公式：，)反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系計(jì)算：，iyi.代入公式求出x中參數(shù)，的值寫(xiě)出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出估計(jì)(2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無(wú)意義跟蹤訓(xùn)練1某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)12345學(xué)科編號(hào)ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性回歸方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)類型二線性回歸分析例2現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(y)如下：學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問(wèn)：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有線性關(guān)系？反思與感悟相關(guān)關(guān)系的兩種判定方法及流程(1)利用散點(diǎn)圖判定的流程(2)利用相關(guān)系數(shù)判定的流程跟蹤訓(xùn)練2一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺點(diǎn)，每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件)11985對(duì)變量y與x進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)類型三非線性回歸分析例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測(cè)x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系；(3)利用所得模型，估計(jì)當(dāng)x40時(shí)y的值反思與感悟非線性回歸問(wèn)題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型yebxa函數(shù)yebxa的圖象處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)，得ln yln ebxa，即ln ybxa.令zln y，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型ybln xa函數(shù)ybln xa的圖象：處理方法：設(shè)xln x，原方程可化為ybxa，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)ybx2a型處理方法：設(shè)xx2，原方程可化為ybxa，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3已知某種食品每千克的生產(chǎn)成本y(元)與生產(chǎn)該食品的重量x(千克)有關(guān)，經(jīng)生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下數(shù)據(jù)：x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15通過(guò)以上數(shù)據(jù)，判斷該食品的生產(chǎn)成本y(元)與生產(chǎn)的重量x(千克)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系若有，求出y關(guān)于的回歸方程，并估計(jì)一下生產(chǎn)該食品500千克時(shí)每千克的生產(chǎn)成本是多少(精確到0.01)1設(shè)有一個(gè)線性回歸方程21.5x，當(dāng)變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均_個(gè)單位2如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是_(填序號(hào))3某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)A產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表：x3456y2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為0.7x0.35，則上表中的t_.4下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過(guò)點(diǎn)_x1234y13575.已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計(jì)算：、x1y1x2y2x3y3x4y4、xxxx；(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程回歸分析的步驟(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是自變量，哪個(gè)變量是因變量；(2)畫(huà)出確定好的自變量和因變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程x)；(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考畫(huà)出散點(diǎn)圖，由圖可知，樣本點(diǎn)散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關(guān)關(guān)系設(shè)所求的線性回歸方程為x，則0.5，0.4.所以年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為0.5x0.4.梳理(1)abx(2)確定性函數(shù)某些因素的影響觀測(cè)(3)abx(4)回歸截距回歸系數(shù)回歸值知識(shí)點(diǎn)二思考1不一定思考2越小越好梳理(1)(2)110知識(shí)點(diǎn)三1提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H03.樣本相關(guān)系數(shù)r4r0.0595%沒(méi)有理由拒絕題型探究例1解(1)如圖：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，0.7，40.792.3，故線性回歸方程為0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x9時(shí)，0.792.34，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.跟蹤訓(xùn)練1解(1)散點(diǎn)圖如圖(2)(8876736663)73.2，(7865716461)67.8.iyi8878766573716664636125 054.88276273266263227 174.所以0.625.67.80.62573.222.05.所以y對(duì)x的線性回歸方程是0.625x22.05.(3)當(dāng)x96時(shí)，0.6259622.0582，即可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82.例2解(12010899108)107.8，(84645771)68.120210829921082116 584.84264257271247 384.iyi120841086499571087173 796.所以相關(guān)系數(shù)為r0.751.由檢驗(yàn)水平0.05及n28，在附錄2中查得r0.050.632.因?yàn)?.7510.632，由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2解由題中數(shù)據(jù)可得12.5，8.25，iyi438,4 412.5，660，291，所以r0.995.由檢驗(yàn)水平0.05及n22，在教材附錄表2中查得r0.050.950，因?yàn)閞r0.05，所以y與x具有線性相關(guān)關(guān)系例3解(1)作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線yc1ec2x的周圍，其中c1、c2為待定的參數(shù)(2)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令zln y，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線zbxa，aln c1，bc2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來(lái)建立y與x之間的非線性回歸方程，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得線性回歸方程為0.272x3.849，e0.272x3.849.(3)當(dāng)x40時(shí)，e0.272x3.8491 131.跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)u，通過(guò)已知數(shù)據(jù)得到y(tǒng)與u的相應(yīng)數(shù)據(jù)為u10.50.330.20.1y10.155.524.082.852.11u0.050.030.020.010.005y1.621.411.301.211.15根據(jù)上述數(shù)據(jù)可求得相關(guān)系數(shù)r0.999 8，于是有很大的把握認(rèn)為y與具有線性相關(guān)關(guān)系而8.973，1.126，于是y與的回歸方程為1.126.當(dāng)x500時(shí)，1.1261.14.所以估計(jì)生產(chǎn)該食品500千克時(shí)每千克的生產(chǎn)成本是1.14元當(dāng)堂訓(xùn)練1減少1.52.3.34.(2.5,4)5解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)2， 421.51，故2x1.