1 1課時(shí)提升作業(yè)(二十六) 一、選擇題1.(20xx·寶雞模擬)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于()(A)-12a+32b (B)12a-32b(C)-32a-12b (D)-32a+12b2.(20xx·蚌埠模擬)已知向量a=(1-sin,1),b=(12,1+sin),若ab,則銳角等于()(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°3.(20xx·撫州模擬)原點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心,OA=(-1,-3),OB=(1,-3),則OC等于()(A)(2,0)(B)(-2,0)(C)(0,-23)(D)(0,3)4.若,是一組基底,向量=x+y(x,yR),則稱(x,y)為向量在基底,下的坐標(biāo),現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐標(biāo)為(-2,2),則a在另一組基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐標(biāo)為()(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)5.如圖所示,已知AB=2BC,OA=a,OB=b,OC=c,則下列等式中成立的是()(A)c=32b-12a(B)c=2b-a(C)c=2a-b(D)c=32a-12b6.(20xx·西安模擬)已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(m+1,m-2),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是()(A)m-2(B)m12(C)m1(D)m-1 7.已知非零向量e1,e2,a,b滿足a=2e1-e2,b=ke1+e2.給出以下結(jié)論:若e1與e2不共線,a與b共線,則k=-2;若e1與e2不共線,a與b共線,則k=2;存在實(shí)數(shù)k,使得a與b不共線,e1與e2共線;不存在實(shí)數(shù)k,使得a與b不共線,e1與e2共線.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()(A)1個 (B)2個(C)3個 (D)4個8.(能力挑戰(zhàn)題)平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C滿足OC=OA+OB,其中,R且+=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為()(A)(x-1)2+(y-2)2=5(B)3x+2y-11=0(C)2x-y=0(D)x+2y-5=09.(20xx·黃石模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,ABCD,AD=CD=1,AB=3,動點(diǎn)P在BCD內(nèi)運(yùn)動(含邊界),設(shè)AP=AD+AB,則+的最大值是()(A)34 (B)43 (C)32 (D)2310.已知a=(sin-cos,20xx),b=(sin+cos,1),且ab,則tan2-1cos2的值為()(A)-20xx(B)-12 014(C)20xx(D)12 014二、填空題11.已知向量a=(-2,3),ba,向量b的起點(diǎn)為A(1,2),終點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.12.如圖,在ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M是BC的中點(diǎn),則MN=(用a,b表示). 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)c,則x=.14.(20xx·合肥模擬)給出以下四個命題:四邊形ABCD是菱形的充要條件是AB=DC,且|AB|=|AD|;點(diǎn)G是ABC的重心,則GA+GB+CG=0;若AB=3e1,CD=-5e1,且|AD|=|BC|,則四邊形ABCD是等腰梯形;若|AB|=8,|AC|=5,則3|BC|13.其中所有正確命題的序號為.三、解答題15.平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列問題:(1)求3a+b-2c.(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n.(3)若(a+kc)(2b-a),求實(shí)數(shù)k.答案解析1.【解析】選B.設(shè)c=a+b,(-1,2)=(1,1)+(1,-1),-1=+,2=-,=12,=-32,c=12a-32b.2.【解析】選B.ab,(1-sin)(1+sin)-1×12=0,sin=±22,又為銳角,=45°.3.【解析】選A.在正六邊形ABCDEF中,OABC為平行四邊形,OB=OA+OC,OC=OB-OA=(2,0).4.【解析】選D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),設(shè)a=m+n=(-1,1)+(1,2)=(-+,+2),則由-+=2,+2=4,解得=0,=2.a=0m+2n,a在基底m,n下的坐標(biāo)為(0,2).5.【解析】選A.由AB=2BC得AO+OB=2(BO+OC),所以2OC=-OA+3OB,即c=32b-12a.6.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用反證法,從三點(diǎn)可以共線考慮,然后取所得范圍的補(bǔ)集.【解析】選C.若點(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,則只能共線.AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線,則1×(m+1)-2m=0,即m=1.若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則m1.7.【解析】選B.(1)若a與b共線,即a=b,即2e1-e2=ke1+e2,而e1與e2不共線,k=2,=-1,解得k=-2.故正確,不正確.(2)若e1與e2共線,則e2=e1,有e1,e2,a,b為非零向量,2且-k,12-a=1k+b,即a=2-k+b,這時(shí)a與b共線,不存在實(shí)數(shù)k滿足題意.故不正確,正確.綜上,正確的結(jié)論為.8.【思路點(diǎn)撥】求軌跡方程的問題時(shí)可求哪個點(diǎn)的軌跡設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo),故設(shè)C(x,y),根據(jù)向量的運(yùn)算法則及向量相等的關(guān)系,列出關(guān)于,x,y的關(guān)系式,消去,即可得解.【解析】選D.設(shè)C(x,y),則OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3).由OC=OA+OB,得(x,y)=(3,)+(-,3)=(3-,+3).于是x=3-,y=+3,+=1.由得=1-代入,消去得x=4-1,y=3-2,再消去得x+2y=5,即x+2y-5=0.【一題多解】由平面向量共線定理,得當(dāng)OC=OA+OB,+=1時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.因此,點(diǎn)C的軌跡為直線AB, 由兩點(diǎn)式求直線方程得y-13-1=x-3-1-3,即x+2y-5=0.9.【思路點(diǎn)撥】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y),求出+與x,y的關(guān)系,運(yùn)用線性規(guī)劃求解.【解析】選B.以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則D(0,1),B(3,0),C(1,1),設(shè)P(x,y).AP=(x,y),AD=(0,1),AB=(3,0).AP=AD+AB,即(x,y)=(0,1)+(3,0)=(3,),x=3,y=,=y,=x3,+=x3+y.由線性規(guī)劃知識知在點(diǎn)C(1,1)處x3+y取得最大值43.10.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量的共線求出tan,再利用三角變換公式求值.【解析】選C.由ab得sin-cossin+cos=20xx,即tan-1tan+1=20xx,解得tan=-2 0152 013.tan2-1cos2=2tan1-tan2-cos2+sin2cos2-sin2=2tan1-tan2-1+tan21-tan2=-(1-tan)21-tan2=-1-tan1+tan.將tan=-2 0152 013代入上式得,tan2-1cos2=20xx.【方法技巧】解決向量與三角函數(shù)綜合題的技巧方法向量與三角函數(shù)的結(jié)合是近幾年高考中出現(xiàn)較多的題目,解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)條件將所給的向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題,然后借助三角恒等變換再根據(jù)三角求值、三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形的問題來解決.11.【解析】由ba,可設(shè)b=a=(-2,3).設(shè)B(x,y),則AB=(x-1,y-2)=b.由-2=x-1,3=y-2,x=1-2,y=3+2.又B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則1-2=0或3+2=0,所以B(0,72)或(73,0).答案:(0,72)或(73,0)12.【解析】由題意知MN=MC+CN=12BC+14CA=12BC-14AC=12AD-14(AB+AD)=12AD-14AB-14AD=-14AB+14AD=-14a+14b.答案:-14a+14b13.【解析】由a=(1,2),a-12b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).由(2a+b)c得6x=-6,解得x=-1. 答案:-114.【解析】對于,當(dāng)AB=DC時(shí),則四邊形ABCD為平行四邊形,又|AB|=|AD|,故該平行四邊形為菱形,反之,當(dāng)四邊形ABCD為菱形時(shí),則AB=DC,且|AB|=|AD|,故正確;對于,若G為ABC的重心,則GA+GB+GC=0,故不正確;對于,由條件知CD=-53AB,所以CDAB且|CD|>|AB|,又|AD|=|BC|,故四邊形ABCD為等腰梯形,正確;對于,當(dāng)AB,AC共線同向時(shí),|BC|=3,當(dāng)AB,AC共線反向時(shí),|BC|=8+5=13,當(dāng)AB,AC不共線時(shí)3<|BC|<13,故正確.綜上正確命題為.答案:15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6).(2)a=mb+nc,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.(3)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,k=-1613.【變式備選】已知四點(diǎn)A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求實(shí)數(shù)x,使兩向量AB,CD共線.(2)當(dāng)兩向量AB與CD共線時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)是否在同一條直線上?【解析】(1)AB=(x,1),CD=(4,x).ABCD,x2-4=0,即x=±2.當(dāng)x=±2時(shí),ABCD.(2)當(dāng)x=-2時(shí),BC=(6,-3),AB=(-2,1),ABBC.此時(shí)A,B,C三點(diǎn)共線,從而,當(dāng)x=-2時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)在同一條直線上. 但x=2時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)不共線.