1 1第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應用 課時訓練 練題感 提知能【選題明細表】知識點、方法題號用正、余弦定理解三角形1、5、8、9、11與三角形面積有關的問題2、4判斷三角形的形狀3、10實際應用問題7、15綜合應用6、12、13、14、16A組一、選擇題1.(20xx廣東湛江十校聯(lián)考)在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,則a等于(A)(A)22(B)23(C)6-2(D)4解析:A=180°-30°-15°=135°,由正弦定理asinA=bsinB,得a22=212,即a=22.故選A.2.(20xx潮州二模)在ABC中,A=3,AB=2,且ABC的面積為32,則邊AC的長為(A)(A)1(B)3(C)2(D)2解析:SABC=12AB·AC·sin A=12×2·AC·sin3=32,AC=1.故選A.3.(20xx湛江高考測試(二)若三條線段的長分別為3,5,7,則用這三條線段(C)(A)能組成直角三角形(B)能組成銳角三角形(C)能組成鈍角三角形(D)不能組成三角形解析:依題意得,注意到任意兩邊之和均大于第三邊,因此,它們能夠構(gòu)成三角形,邊長為7的邊所對的內(nèi)角的余弦等于32+52-722×3×5<0,因此,該內(nèi)角是鈍角.該三角形是鈍角三角形,故選C.4.(20xx汕頭市高三質(zhì)量測評(二)在ABC中,內(nèi)角A,B,C對應的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=3,ABC的面積SABC=3,則ABC的周長為(A)(A)6(B)5(C)4(D)4+23解析:依題意得12absin C=34ab=3,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4(a+b)2-3ab=4(a+b)2=16a+b=4a+b+c=6,即ABC的周長是6,故選A.5.(20xx汕頭市高三質(zhì)量測評(一)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sinCsinA=2,b2-a2=32ac,則cos B等于(C)(A)12(B)13(C)14(D)15解析:ca=sinCsinA=2,即c=2a,又b2-a2=32ac,由余弦定理得b2=c2+a2-2accos B,32a×2a=4a2-4a2cos B,即cos B=14.6.(20xx珠海一模)直線l1與l2相交于點A,點B、C分別在直線l1與l2上,若AB與AC的夾角為60°,且|AB|=2,|AC|=4,則|BC|等于(B)(A)22(B)23(C)26(D)27解析:由題意,ABC中,A=60°,AB=2,AC=4.由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12,BC=23.故選B.二、填空題7.某居民小區(qū)為了美化環(huán)境,給居民提供更好的生活環(huán)境,在小區(qū)內(nèi)的一塊三角形空地上(如圖,單位:m)種植草皮,已知這種草皮的價格是120元/m2,則購買這種草皮需要元. 解析:三角形空地面積S=12×123×25×sin 120°=225(m2),故共需225×120=27000(元).答案:270008.(高考北京卷)在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,則b=. 解析:由已知根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-14),即15b-60=0,得b=4.答案:49.(20xx潮州高三期末質(zhì)檢)在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,則cos A=. 解析:由(2b-c)cos A=acos C,得2bcos A=ccos A+acos C,2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,故2sin Bcos A=sin(A+C),又在ABC中,sin(A+C)=sin B>0,故cos A=12.答案:1210.在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,則ABC的形狀為. 解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,2sinBcos A=2sin Acos A.cos A=0或sin A=sin B.0<A、B<,A=2或A=B,ABC為直角三角形或等腰三角形.答案:等腰或直角三角形三、解答題11.(20xx廣東六校第二次質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD中,AB=5,AD=3,cos A=45,BCD是等邊三角形.(1)求四邊形ABCD的面積;(2)求sin ABD.解:(1)由題意及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2×AB×AD×cos A=10,cos A=45,sin A=35.四邊形ABCD的面積S=SABD+SBCD=12×AB×AD×sin BAD+12×BD2×sin DBC=9+532.(2)由正弦定理得ADsinABD=BDsinA,sin ABD=ADBD×sin A=91050.12.(20xx深圳市二調(diào))在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.(1)求角C的大小;(2)求sin(B+3)的值.解:(1)由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12,0<C<,C=23.(2)由正弦定理可得bsinB=csinC,sin B=bsinCc=5sin 237=5314,C=23,B為銳角,cos B=1-sin2B=1-(5314) 2=1114,sin(B+3)=sin Bcos 3+cos Bsin 3=5314×12+1114×32=437.B組13.(高考新課標全國卷)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于(D)(A)10(B)9(C)8(D)5解析:由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=125,又因為ABC為銳角三角形,所以cos A=15.在ABC中,由余弦定理知72=b2+62-2b×6×15,即b2-125b-13=0,即b=5或b=-135(舍去),故選D.14.在ABC中,設角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且ab,則B=. 解析:由ab,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因為sin A0,故cos B=12,因此B=3.答案:315.如圖所示,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°,30°,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°,AC=0.1 km.(1)試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離會相等?(2)求B、D的距離.解:(1)如圖所示,在ADC中, DAC=30°,ADC=60°-DAC=30°,CD=AC=0.1 km,又BCD=180°-60°-60°=60°,CED=90°,CB是CAD底邊AD的中垂線,BD=BA.(2)在ABC中,ABC=75°-60°=15°,由正弦定理得ABsinBCA=ACsinABC,AB=0.1·sin60°sin15°=32+620(km),BD=32+620(km).故B、D間的距離是32+620km.16.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求證:a,b,c成等比數(shù)列;(2)若a=1,c=2,求ABC的面積S.(1)證明:在ABC中,sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,sin BsinAcosA+sinCcosC=sinAcosA·sinCcosC,sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,sin Bsin(A+C)=sin Asin C,A+C=-B,sin(A+C)=sin B,sin2 B=sin Asin C,由正弦定理得,b2=ac,a,b,c成等比數(shù)列.(2)解:a=1,c=2,b2=ac=2,b=2,cos B=a2+c2-b22ac=12+22-22×1×2=34,0<B<,sin B=1-cos2B=1-342=74.ABC的面積S=12acsin B=12×1×2×74=74.